ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость равновесия под действием одних гироскопических и диссипативных сил. Пример из "Введение в теорию устойчивости движения " До сих пор рассматривались системы, в которых диссипативные и гироскопические силы действовали вместе с потенциальными силами. Между тем в приложениях встречаются системы, в которых диссипативные и гироскопические силы действуют беа потенциальных сил. Изучению устойчивости таких систем посвящеи этот параграф. [c.183] Теорема 1. Равновесие системы, на которую действуют одни гироскопические силы, всегда устойчиво относительно скоростей [38]. [c.183] Функция F — — s -s удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю (см. 2.2)), что доказывает теорему. [c.183] Теорема 2. Для того чтобы равновесие линейной автономной системы, находящейся под действием одних гироскопических сил, было устойчивым относительно координат, необходимо и достаточно, чтобы, определитель матрицы гироскопических сил не равнялся нулю 138]. [c.184] Из условия det G = О и последних двух раионств следует, что уравнение (6.85) имеет не менее s + 1 нулевых корней. [c.185] Так как число нулевых корней. угевой части не менее S f 1, а в правой части имеется s инвариантных множителей Ец (к), то хотя бы один из них содержит нулевой корень кратности больше первой. Это доказывает неустойчивость системы (см. 5.4 с. 146). [c.186] Следствие. Если на систему действуют только гироскопические силы и она имеет нечетное число координат, то равновесие такой системы всегда неустойчиво (если s — нечетное число, то det G тождественно равен нулю (см. 5.2, с. 129)). [c.186] Примечание 1. Так как невозмущенное движение устойчиво относительно скоростей при любом значении det G, то из доказательства неустойчивости системы следует, что при det G = О система теряет устойчивость только в координатах. [c.186] Примечание 2. Если det G ф О, то характеристический определитель системы имеет ровно s нулевых корней. Из устойчивости системы следует, что эти корни простые для элементарных делителей. [c.186] Примечание 3. Уравнение (R.79) во многих случаях представляет уравнение первого приближения нелинейной системы, на которую действуют только гироскопические силы. Конечно, из устойчивости движения при det G Ф О, определяемого уравнением первого приближения, не следует устойчивость исходной нелинейной системы. [c.186] Согласно первой части теоремы, движение асимптотически устойчиво относительно скоростей . Из совпадения форм уравнений (6.90) и (6.94) следует, что движение асимптотически устойчиво относительно у. На основании равенств (6.93) и (6.92) заключаем, что движение устойчиво (но не асимптотически) относительно координат s. [c.188] Примечание. Теорема остается справедливой и в ноли-нейной постановке задачи [36, 381. [c.188] В этих уравнениях матрица сил, линейно зависящих от скоростей г, I/, Z, кососимметричная. Следовательно, эти силы гироскопические. Так как другие силы отсутствую , то на основании теоремы 1 этого параграфа заключаем, что невозмущонное движение электрона устойчиво относительно скоростей г, а на основании следствия теоремы 2 оно неустойчиво относительно совокупности всех координат х, у, л (так как число координат равно jpeM). [c.189] Отсюда следует, что при s четном Л (fi.) содержит (i, только и четных степенях, а при нечетпо, i — в нечетных степенях, т. е. [c.190] Перейдем теперь к последнему случаю, когда /) ,. . Ь, отрицательны и S — нечетное число. Из равенства (0.102) найдем йо О (произведение нечетного числа отрицатплгшых чисел), а из (6.103) и (6.104) получим 0 (п — 2, 4,. , . S 1). Из второго равенства (6.101) следует Л 0, что доказывает соотношение (6.89). [c.191] Осталось доказать соотношение (6.86). Но оно следует из только мго доказанных неравенств (6.87).(0.8 )). [c.191] Вернуться к основной статье