ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивости линейных автономных систем. Устойчивость резонанса. Примеры из "Введение в теорию устойчивости движения " Если киадратичная форма Ах-х определенно-положительна, то для простоты матрица А называется определенно-положительной. [c.133] Такие матрицы называются Х-матрицами. Обозначим через Die (к) к = I,. . ., п) общий наибольший делитель всех миноров /с-го порядка матрицы (5.26), причем коэффициент при старшем члене выбираем равным единице. Легко показать, что многочлен Z) f (%) делится па ( .). При определении общих наибольших делителей D i (А) полезно иметь в виду следующее замечание если какой-либо минор к-то порядка равен постоянной величине, то D = D/ -1 =. . . = Z j = 1 (так как этот минор должен делиться на )(,, а 1) . делится на .. ., 0 ). [c.133] Кроме того, e j e j, если к к (так как Ег делится на Ет,). [c.134] Двучлены (к — к ) ходящие множителями в Е к) и отличные от постоянного числа (т. е. при 0), называются элементарными делителями Х-матрицы. Общее их число будем обозначать через т, а сами делители через ( , klY ,. . ., к — кт) причем среди чисел ki могут быть и равные (биномы (к — Я ) могут входить в разные инвариантные множители Ej ). [c.134] Полученная матрица является нормальной диагональной для матрицы (5.30). [c.136] Так как этот минор равен единице, то = Dj =. .. [c.137] Из этого следует, что матрица Ji — ХЕ имеет только один элементарный делитель, ранный X — Я ) . [c.137] Отметим существенное для дальнейшего обстоятельство корни элементарных делителей и корни характмистическогЬ уравнения всегда совпадают, но их кратность может быть различна. В данном примере как раз имеет место этот случай нулевой корень имеет вторую кратность для характеристического уравнения, но он простой для элементарных делителей (так как двум нулевым корням отвечают два элементарных делителя). Корни Я, == Я, = — 1 имеют одинаковую кратность как для характеристического уравнения, так и для элементарных делителей. [c.139] Обратим внимание на следующие обстоятельства характеристические ]гравнения в обоих примерах имеют одинаковые корни X, = Я.2 = О, Xj = = — 1. Однако нормальные формы Жордана разные. Это объясняется тем, что в первом примере характеристическая матрица имеет три элементарных делителя, а во втором примере — только два. [c.140] Кроме того, легко доказывается, что при ортогональном преобразовании след произвольной квадратной матрицы В равен следу матрицы А ВА, т. е. [c.142] Таким образом, преобразование (5.47) переводит матричное уравнение возмущенного движения (5.46) с искомым вектором ас в матричное уравнение (5.49) с искомым вектором Z. Очевидно, что если двилгение устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора , то оно будет устойчиво (неустойчиво) относительно переменного вектора ас, и наоборот. [c.143] Переменный вектор , входящий в преобразованное уравнение (5.49) с матрицей коэффициентов (5.51), называется каноническим вектором, а его элементы z , Zj,. ... . ., z — каноническими переменными. [c.144] Аналогичные решения получим для других групп. [c.145] Из общего решения (5.53) и предельных равенств (5.54) непосредственно вытекают следующее теоремы об устойчивости движения системы, возмущенное движение которой описывается дифференциальными уравнениями (5.1) или в матричной форме (5.46). [c.145] Таким образом, к определению элементарных делителей нужно прибегать только в том случае, если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни с нулевой вещественной частью, а вещественные части остальных корней отрицательны. [c.146] Вернуться к основной статье