ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры из "Введение в теорию устойчивости движения " Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы если нотенциальиая анергия имеет в положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво. Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо-ти теоремы Лагранжа, а именно моя но ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. 135]). [c.81] Четаев оГюбтцил )ти теоремы Ляпуиоиа и докапал следующую теорему если в изолированном положении равновесия потенциальная анергия П, предполагаемая аналитической функцией q ,. . qs, не имеет минимума, то равновесие неустойчиво (см. [491). [c.82] На основании приведенных теорем 3.2 и 3.1 будем в дальнейшем считать, что устойчивому положению равновесия потенциальной системы отвечает минимум потенциальной энергии. Из DToro следует, что устойчивое положение равновесия потенциальной системы изоли])овано. [c.82] Существует обширный класс механических систем, для которых некоторые координаты не входят явным образом в кинетическую энергию системы, а обобщенные силы, соответствующие этим координатам, равны нулю. Такие координаты называются циклическими, а остальные координаты системы — позиционными или просто нециклическими. Так, например, для искусственного спутника Земли (см. пример 2 2.6) координата ф — циклическая, а координаты 0 и г — позиционные. Для конического маятника (пример 1 2.6) координата ijj — циклическая, а координата 0 — позиционная. Для волчка (пример 3 2.6) координаты а и р — позиционные, а координата ф — циклическая. [c.82] Первые иитегралы (3.11) можно использовать для преобразования уравнений Лагранжа для позиционных координат. Это преобразование принадлежит Раусу и носит его имя. Не останавливаясь на выводе (см., например, [38, 49]), приведем только результаты. [c.83] В этих равенствах кооффициеиты ai j == aj ., aj, a также Rfi — функции позиционных координат t/j,. . ., g, и постоянных интегрирования j,. . ., с, . Не останавливаясь на доказательстве (см., иаирпмер, [381), отметим, что квадратичная форма Н2 является определенно-положительной. [c.84] Этот интеграл может быть получен формальными методами, но физически он очевиден — гироскопические силы, действующие на приведенную систему, не производят работы и, следовательно, они не могут изменить общий баланс энергии. [c.86] При некоторых услониях материальная система, имо-юи ая т циклических и я позиционных координат, может совершать стационарное движение которое состоит в том, что все позиционные координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения, равные начальным. Условия, при которых осуществляется стационарное движение, легко получаются из следующих очевидных соображений. [c.86] Это означает, что приведенная система находится в покое. Но для этого, согласно равенствам (3.1), необходимо И достаточно, чтобы все обобщенные силы (3.21) этой системы равнялись нулю, т. е. [c.86] Таким образом, для осуществимости стационарного движения необходимо и достаточно, чтобы начальные значения позиционных координат qj удовлетворяли s равенствам (3.24) и все начальные значения позиционных скоростей д J равнялись нулю (при q = onst шд = О все циклические скорости ф будут сохранять постоянные значения). Отметим, что в функцию R входят постоянные j циклических интегралов (3.11), поэтому значения q j н стационарном движении зависят от циклических скоростей ф, содержащихся в j. [c.87] Теорема Рауса. Если в стационарном движении потенциальная энергия = П — приведенной системы имеет минимум, то это движение устойчиво относительно позиционных координат qj и скоростей Vj, по крайней мере для возмущений, не нарушающих значения циклических ин тегралов (3.11). [c.87] Теорема Рауса н данной формулировке справедлива, конечно, для возмущений, при которых не нарушаются циклические интегралы (3.11) (так как последние входят в потенциальную энергию приведенной системы через функцию Rf)). Ляпунову принадлежит существенное дополнение к этой теореме, устраняющее этот недостаток. Ниже приводится без доказательства дополнение Ляпунова в форме следующей теоремы ). [c.88] Примечание. Циклические интегралы (3.11) содержат позиционные q и циклические ф скорости линейно. Поэтому из устойчивости стационарного движения относительно величин qii и следует устойчивость и относительно циклических скоростей ф (но не координат ф). [c.88] Необходимо отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четае-ва об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя. Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа. [c.88] Теорема. Если для изолированного стационарного движения гироскопически несвязанной системы при фиксированных циклических интегралах (3.11) функция W, предполагаемая аналитической функцией переменных q, не имеет. минимума, то стационарное движение неустойниво. [c.88] Вернуться к основной статье