ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра из "Введение в теорию устойчивости движения " Одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым методом Ляпунова). В этой главе прямой метод будет излои си для автономных систем (неавтономные систом1.г рассматриваются в гл. V ll). [c.29] Предполагается, что в области (2.1) эти функции однозначны, непрерывны и обращаются в нуль, когда в( е л ,,. . ., Хц равны пулю, т. е. [c.29] Если в области (2.1) функция V кроме нуля может принимать значения только одного знака, то она называется знакопостоянной (соответственно положительной или отрицательной). Если же знакопостоянная функция обращается в нуль только в том случае, когда все. . . [c.29] Рассмотрим два примера. [c.29] В линейной алгебре доказывается следующий критерий Сильвестра [9, 141 для того чтобы квадратичная форма с вещественными коэффициентами была определенно-положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры Д , Да,. . ., / матрицы ее коэффициентов были положительны, т. е. [c.32] Перейдем к изучению свойств функции V. Покажем прежде всего, что если функция V зпакоопреде.[генная, то поверхность V ( i, . . ., , ) с замкнута. [c.34] Построим поверхность V с, выбрав число с С I. Будем двигаться из начала координат О по произвольной прямой 0L до сферы [г (рис. 2,2, а). При этом перемещении функция V будет меняться от нуля до некоторого числа Уц, большего с (так как I с). Следовательно, в силу непрерывности в некоторой промежуточной точке М функция V принимает значение, равное с, т. е. прямая 0L пересекает в этой точке поверхность V == с. Так как прямая 0L произвольна, то эта поверхность замкнута. [c.34] Заметим, что свойство замкнутости поверхности V = с справедливо только для. чнакоопределенных функций. Для знакопостоянных нли знакопеременных функций поверхности V = с разомкнуты. [c.34] Знание производной функции V позволяет наглядно проследить за движением изображающей точки. Действительно, пусть в данный момент времени t изображающая точка М занимает некоторое положение. Выберем какую-нибудь определенно-положительную функцию У и построим поверхность V = с, проходящую через точку М. Затем по формуле (2.12) вычислим в этой точке производную V функции V. Рассмотрим три возможных случая. [c.36] Вернуться к основной статье