ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вращение симметричного твердого тела вокруг неподвижной точки из "Курс теоретической механики. Т.2 " Здесь — главный момент внешних сил, а К — главный момент количеств движения твердого тела относительно неподвижной точки О. Выражение вектора К было приведено выш (см. формулы (2) и (3) 139, а также (36) 141. [c.596] Для определения вращательного движения надо составить уравнение моментов по отношению к центру масс. Получим уравнения Эйлера (4), в которых оси Охуг будут в этом случае главными центральными осями инерции, а J, /2, J3 — главными центральными моментами инерции. [c.597] Пример 170. Доказать, что вращение тяжелого твердого тела, центр тяжести которого неподвижен, будет устойчивым, если первоначально неподвижному телу сообщить вращение вокруг наибольшей или наименьшей оси эллипсоида инерции, и неустойчивым, если вращение сообщается вокруг сред-Heii оси эллипсоида инерции. [c.597] Если а С О, что может иметь место, если разности J3 — /2 и /з — Л имеют противоположные знаки, т. е. ось Сг является средней осью эллипсоида инерции, то решения уравнений (8) выражаются через показательные функции, и при достаточно большом t угловые скорости и м , могут слелаться сколь угодно большими. В этом случае вращение вокруг оси Сг неустойчиво. [c.598] Можно доказать, что оно будет устойчивым при условии а О, т. е. если начальное вращение задано вокруг оси наибольшего или наименьшего момента инерции. В этом случае уравнения (8) реи1 ются в тригонометрических функциях, т. е. решения остаются ограниченными ири любом i. До появления работы А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движений (1892) принимали, что это служит доказательством наличия устойчивости однако вопрос этот не столь прост ). [c.598] При этом условии и при J — h из третьего уравнения Эйлера (4) следует, что Шг = О, т. е. [c.599] При / = сог имеем ш = и, т. е. система Ох у г также является связанной с телом если же г ф (Лг, то система отсчета Ох у г в своем вращении или отстает от вращения тела или опережает его, причем плоскость Ох у все время совпадает с экваториальной плоскостью тела. [c.599] Применив теорему об изменении момента количеств движения, получим векторное уравнение вращения гироскопа вокруг точки на его оси симметрии, d a. [c.600] При г = сог, спроектировав это уравнение на взаимно перпендикулярные оси, лежащие в экваториальной плоскости, снова получим два первых уравнения Эйлера (4). Однако применение системы осей Ox y z, не связанных с телом г Ф mz), позволяет во многих случаях, распоряжаясь выбором величины г, упростить составление уравнений. Напомним, что уравнение (16) имеет место лишь при условии (9), что видно и из формы этого уравнения. [c.600] Вернуться к основной статье