ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы из "Курс теоретической механики. Т.2 " Прямолинейные колебательные движения материальной точки иод действием линейной восстанавливающей силы, силы сопротивления, проно1)циональной первой степени скорости, и постоянной силы трения были рассмотрены в гл. XXI. Полученные там результаты обобщаются в настоящей главе на случай системы материальных точек, подчиненной стационарным связям и имеющей одну степень свободы. Вместе с тем дается представление о колебаниях, развивающихся под действием нелинейных восстанавливающих сил и силы сопротивления, пропорциональной квадрату скорости. Содержание этой и двух следующих глав курса можно рассматривать как введение в теорию колебаний, представляющую собой одну из наиболее важных областей приложений теоретической механики к вопросам техники. [c.479] Рассмотрим систему материальных точек с одной степенью свободы, подчиненную стационарным связям и находящуюся под действием задаваемых консервативных сил. Обозначим через q текущую обобщенную координату и предположим, что положение системы, соответствующее нулевому значению координаты q — О, представляет собой положение устойчивого ее равновесия ( 147). [c.479] Из формул (5), (6) и (12) видно, что амплитуда колебаний А пропорциональна корню квадратному из полной энергии Е = = Т -1- П системы. [c.481] Это свободные или собственные колебания системы. [c.481] Качественное изучение общей картины движения системы облегчается введением в рассмотрение так называемой фазовой плоскости (q, q), в которой строятся кривые — фазовые траектории, выражающие графически зависимость между обобщенной координатой q и обобщенной скоростью q системы для всего многообразия интегральных кривых. [c.482] В рассматриваемом случае консервативной системы фазовые траектории, естественно, совпадают с кривыми уровней энергии. Фазовые траектории (рис. 418) образуют семейство подобных между собой эллипсов, отличающихся друг от друга только масштабом, зависящим, согласно (12), от начальных условий движений или, точнее, от полной энергии системы. Для всех эллипсов отношение длин полуосей одно и то же — оно равно частоте k собственных колебаний системы. [c.482] Покою системы в положении ее устойчивого равновесия соответствует начало координат фазовой плоскости ( = 0, f/=0). [c.482] При уменьшении полной энергии, а это для данной системы, согласно (12), может иметь место только при уменьшении начальных значений qo, и qa, фазовые траектории стягиваются к началу координат, которое в этом случае называется центром. [c.483] Каждому движению системы при заданных начальных условиях соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по фазовой траектории — эллипсу — в указанном на рис. 418 направлении. [c.483] как в намем случае, по оси абсцисс отложена обобщенная координата, а по оси ординат — обобщенная скорость, то в верхней полуплоскости (q 0) координата q возрастает и изображающая точка движется слева направо. В нижней полуплоскости (q 0) движение изображающей точки происходит справа налево. [c.483] Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483] Начало координат О, соответствующее покою системы в точке неустойчивого равновесия, представляет собой седлообразную точку, или седло. [c.485] Рассмотрим несколько примеров собственных колебаний систем с одной степенью свободы вокруг положения устойчивого равновесия. [c.485] Пример 151. Бифилярный подвес. Две нити AM и AiMi (рис. 420) одинаковой длины I закреплены в неподвил ных точках Л и Ль расположенных на горизонтальной оси Ох, причем AAi = 2а. Нижние концы нитей прикреплены, как указано на рис. 420, к подвесу ММх, на котором лежит тело 5 с массой т и моментом инерции / относительно вертикальной оси Oz. Поворотом вокруг этой оси система выводится из положения равновесия. Определить период собственных колебаний тела S, пренебрегая массами нитей и подвеса. [c.485] Пример 152. На рис. 422 показана схема вибрографа, служащего для записи колебаний фундаментов, частей машин и пр. Маятник ОС удерживается в положении равновесия под углом а к вертикали с помощью спиральной пружины. Заданы жесткость пружипы с, момент инерции J маятника относительно оси вращения О, его вес G и расстояние ОС = s центра тяжести С от оси вращения О. Найти частоту свободных колебаний маятника, пренебрегая массой пружины. Прямая NN, перпендикулярная к ОС, параллельна направлению измеряемых колебаний. [c.486] Пример 153. На рис. 423 представлена схема вертикального сейсмографа. Рамка ОАВ, на которой закреплена тяжелая отливка М, может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О, и удерживается в положении равновесия, в котором стержень ОА горизонтален, пружиной DB один конец пружины закреплен в неподвижной точке D, другой — присоединен к [1амке в некоторой точке В. Пренебрегая массой пружины и, считая, что центр тяжести рамки и груза М находится в точке С (ОС I), найти частоту свободных колебаний прибора. [c.487] Направим неподвижную ось Ох горизонтально вдоль стержня ОА, а неподвижную ось Оу, перпендикулярную к оси Ох вертикально вниз введем также подвижную систему осей координат Оху, связанных с рамкой в положении равновесия оси обеих систем совпадают. Пусть а и Ь — координаты точки крепления В пружины в системе Оху (очевидно, что в положении равновесия также и = а. Уд = bj. Координаты точки D в системе Ох ц будут Хд = а, y = —L + b (рис. 423), где Lot — длина пружины в положении равновесия. За обобщенную координату примем угол 0 поворота рамки вокруг оси О. [c.487] При / = л/2 получим формулу периода колебаний физического маятника при ( = О равновесия безразличное и будет иметь место при любых значениях ф. [c.491] Пример 155. Ромб, образованный четырьмя шарнирно соединенными однородными стержнями длины а и массы т, лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Противоположные вершины ромба соединены упругими нитями, длины которых в нерастянутом состоянии таковы, что острый угол ромба равен 2 о. Определить движение ромба после того, как одна из нитей слегка натягивается и затем отпускается площади сечений и модули нормальной упругости обеих нитей одинаковы и соответственно равны F н Е. [c.491] Вернуться к основной статье