ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преобразование Лоренца. Диаграмма Минковского из "Курс теоретической механики. Т.2 " Преобразование координат и времени, оставляющее инвариантными уравнения электродинамики, было открыто Г. А. Лоренцем (1853— 1928) в 1892 г., т. е. за 13 лет до появления работы Эйнштейна. Приведем простой вывод этого преобразования. [c.448] Согласно постулатам Эйнштейна, уравнения электродинамики, а следовательно, и их решения должны сохранить свой вид в системе отсчета (х, у, z, t ), движушейся относительно исходной системы х, у, z, t) поступательно, равномерно и прямолинейно. Обратим внимание на то, что, говоря о поступательном, равномерном и прямолинейном относительном движении систем отсчета, мы необходимо должны предположить, что t ф t, т. е. что время не является, абсолютным. В самом деле, предположив противное, придем к преобразованиям Галилея, т. е. к формуле (2) сложения скоростей, что противоречит второму постулату Эйнштейна о постоянстве скорости света. [c.448] Совокупность величин и (л (которые будем в дальнейшем называть координатами , не выделяя специально пространственных и временной составляющих) удобно трактовать как декартовы компоненты некоторого вектора R соответственно по осям н в четырехмерном евклидовом пространстве-времени Минковского. Равенства (9) и (10) показывают, что преобразование (10) (ср. с 32 т. I) оставляет неизменной абсолютную величину упомянутого вектора R, т. е. представляет собой не что иное, как ортогональное преобразование координат — вращение в пространстве Минковского. Отличие этого вращенил от обычного заключается в том, что, поскольку координата чисто мнимая, коэффициенты и а. в соотношениях (10) не все вещественны. Именно, коэффициенты а.и а ., а. [i = 1,2, 3) должны быть чисто мнимыми, а остальные — зэ-щественными. [c.449] Переход от (15) к (16) осуществляется заменой переменных ( 3 ) на переменные (хз, /) с одновременным изменением знака V (и р = v/ ) на обратный. [c.451] Когда параметр 3 стремится к нулю, формулы (15) и (16) переходят в обычное преобразование Галилея. Этим объясняется тот факт, что преобразования Галилея сохраняют практическое значение в тех многочисленных случаях, когда скорость и мала по сравнению со скоростью света с. [c.451] Рассмотрим пару гипербол = 1 и пару = —1 (рис. 415). Гиперболы первой пары пересекают ось х в точках л = 1, т = О, а гиперболы второй — ось т в точках х = О, т == 1. Обе пары гипербол отсекают, таким образом, единичные отрезки вдоль осей координат (это согласуется с тем, что квадрат псев-доевклидова расстояния s между началом координат и любой точкой гипербол равен 1). [c.452] В виду при измерении длин и промежутков времени в различных системах отсчета. Непосредственное сравнение единичны.ч в смысле псевдоевклидова расстояния отрезков вдоль осей различных систем (например, отрезков О А и ОА на рис. 416) показывает, что евклидова (обычная) длина этих отрезков различна можно убедиться в том, что отношение евклидовых длин отрезков ОА и ОА (т. е, отношение масштабов косоугольных и прямоугольных коорди-нат) равно д/ 1-f р2)/ 1 — р2). [c.453] Это различие в масштабах не должно, однако, служить источником недоразумений, так как измерение длин и промежутков времени в каждой системе координат будет производиться в единицах длины 3,0 и времени, соответствующих именно этой системе. [c.453] На диаграмме Минковского (рис. 414) изображена первая из прямых (18) — диагональ первого квадранта пространственноподобные точки в этом квадранте лежат между диагональю и осью А, а временно-подобные точки — на диагонали и между диагональю и осью т. [c.453] Для каждой пространственно-подобной точки D существует система координат О х х, для которой интервал s представляет собой чисто пространственное расстояние s = х. Сходным образом, для всякой временно-подобной точки В существует система О х т, для которой S будет чисто временным расстоянием S = х. Для доказательства достаточно выбрать параметр Р так, чтобы ось х (либо х ) на рис, 414 прошла через задаипую пространственно-подобную (либо временно-подобную) точку. [c.453] Рассмотрим какие-либо события, происходящие в точках О и Z). В исходной системе Охх первое из них происходит раньше второго можно, однако, указать такую систему О х %, в которой оба события будут одновременны (точки О и Z) лежат на оси х, см. рис. 414), а также систему координат, в которой событие в D произойдет раньше, чем в О (если точка D будет лежать ниже оси х ). Все это связано, конечно, с пространственно-подобным характером точки D. [c.454] Рассмотрим теперь временно-подобную точку В. Для нее дело обстоит иначе если событие в точке О происходит раньше, чем событие в точке В в одной системе координат (х, т), то оно предшествует тому же событию в точке В в любой другой системе [х х ). Этот результат имеет принципиальное значение он выражает, в частности, то обстоятельство, что временное расположение события-причины и события-следствия не зависит от того, в какой системе координат регистрируются эти события. [c.454] Независимо от того, движется частица в пространстве или покоится, ее положение на диаграмме Минковского характеризуется некоторой кривой, называемой мировой линией частицы. Так, частица, находящаяся в покое в начале координат исходной системы Охх, имеет своей мировой линией ось л == 0 частица, равномерно движущаяся из начала координат системы Охх сэ скоростью V, имеет мировой линией прямую, образующую с осью X угол ar tg(u/ ) световой луч, исходящий из начала координат, имеет мировыми линиями прямые (18) и т. д. Как следует из предыдущего, мировые линии частиц, совершающих произвольное (не обязательно равномерное и прямолинейное) движение, полностью состоят из временно-подобных точек, так как мгновенная скорость этих частиц не может превышать с. [c.454] На рис. 414 этот промежуток времени получается, если провести через точки D и D2 прямые, параллельные оси х, до пересечения с осью х в точках х = х[ и т = х . [c.455] Таким образом, понятие длины движущегося стержня приобретает смысл ТОЛЬКО тогда, когда указано, в какой инерциаль-ной системе измеряется эта длина. Значение длины стержня (точнее, число единиц длины в стержне) максимально в той системе координат, в которой стержень покоится во всех остальных системах это значение меньше. В этом нет ничего парадоксального, так как уменьшение длины происходит вследствие того, что меняется способ ее измерения. Конечно, не может быть и речи о каком-то изменении физического состояния стержня оно одно и то же во всех инерциальных системах. [c.456] Для наблюдателя В, измеряющего время в своих единицах, часы исходной системы отстают. Но исходная система и система О х х совершенно равноправны поэтому те же самые эффекты будут зафиксированы наблюдателем, связанным с исходной системой и сравнивающим показания своих измерений длин и промежутков времени с результатами наблюдателя В. Это непосредственно следует из формул (15) и (16), нмеющи - взаимный характер. [c.456] С ПОСТОЯННОЙ скоростью прямолинейно сначала от А, а затем назад к А часы А при этом остаются в покое. Согласно сказанному часы В отстанут от А. Но с равным основанием можно сказать, что часы А отстанут от В, так как движение часов относительное. [c.457] В действительности оба эксперимента существенно различаются. В первом из них на часы В действует сила, заставляющая их изменять свою скорость, а на часы А сила не действует. Во втором эксперименте положение обратное часы В свободны от воздействия силы, а часы А это воздействие испытывают. Физические условия, в которых находятся различные часы, в обоих экспериментах различны и приводят к разным следствиям в отношении показаний часов. Специальная теория относительности, имеющая дело с прямолинейным и равномерным движением, не дает объяснения действия ускорения на ход часов — это объяснение может быть дано лишь в рамках общей теории относительности. Выводы, к которым приводит преобразование Лоренца, находят ясное объяснение в постулатах Эйнштейна. Физически все основано на том, что скорость света не бесконечна, а измерение длин и синхронизация часов в движущихся относительно друг друга системах в принципе могут производиться только с помощью световых сигналов. [c.457] Этот результат вполне согласуется с формулой (21), если учесть, что наблюдатель В покоится в системе О х % и его время т соответствует времени т в (21). [c.458] Вернуться к основной статье