ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода из "Курс теоретической механики. Т.2 " Предположим, что время не входит явно в выражение кинетического потенциала L. Это безусловно будет иметь место, если связи стационарны однако L может явно не содержать /ив тех случаях, когда связи зависят от времени, что будет показано ниже на примерах. [c.399] Первый интеграл уравнений движения (68) имеет место при достаточно широких предположениях относительно свойств задаваемых сил (консервативность) и характера связей (стационарность) или, несколько более общо, относительно вида функции Лагранжа L (независимость ее от времени). Обратимся теперь к рассмотрению других первых интегралов, существование которых требует более сильных ограничений, накладываемых на выражение кинетического потенциала. [c.400] Угловая координата ф при этом будет циклической. [c.401] Эти равенства, связывающие обобщенные скорости, координаты, время и постоянные интегрирования, являются первыми интегралами уравнений Лагранжа и называются циклическими интегралами. [c.401] Из последней формулы следует, что обобщенный импульс р, в данный момент равен обобщенному импульсу мгновенных сил, который надо сообщить покоящейся системе, чтобы она мгновенно приобрела то движение, которое она на самом деле совершает в этот момент. Этим можно объяснить применение термина обобщенный импульс для величин р/, определенных равенствами (73). [c.402] Отсюда следует, что циклические импульсы сохраняют постоянную величину. В полярных координатах это соответствует известной теореме сохранеьшя момента количества движения при равенстве нулю момента приложенной силы, а в декартовых — теореме сохранения проекции количества движения при равенстве нулю проекции главного вектора внешних сил на соответствующую ось. [c.403] Пример 142. Циклоидальный маятник. Тяжелая точка массы ш движется ио циклоиде с вертикальной осью (рис. 396). Найти движение точки. [c.403] Циклоидальный маятник (маятник Гюйгенса) обладает свойством изохронности, т. е. период колебаний его не зависит от начальных условий движения. В этом его отличие от математического маятника, у которого изохронность имеет место только при малых углах отклонения. Маятник Гюйгенса может быть осуществлен, если нить, на которой висит грузик, заставить при колебаниях навиваться на шаблон, имеющий форму циклоиды (рис. 397). Тогда, как известно, грузик будет двигаться по эвольвенте циклоиды, т. е. по такой же, но сдвинутой циклоиде. Циклоидальный маятник движется синхронно с математическим маятником длины 4а, совершающим малые колебания. Пример 143. Сферический маятник. Тяжелая точка массы т движется по поверхности гладкой сферы радиуса I. Исследовать характе]) движения при различных начальных условиях, считая связь удерживающей. [c.404] Покажем, как, не вычисляя янтеграла, можно судить качественно о характере движения сферического маятника. [c.405] Среднее по высоте положение точки всегда находится ниже центра сферы, т. е. [c.406] Если вектор начальной скорости лежит в плоскости, проходящей через начальное положение точки и равновесное положение нити, то сферический маятник вырождается в математический и ф будет равно нулю. [c.407] К тому же результату можно было бы прийти из кинетостатического рас чета, написав, что проекции силы тяжести и центробежной силы на направление, перпендикулярное к нити (в плоскости, проходящей через ось Ог и нить), равны между собой. [c.407] Пример 144. Исследовать движение тяжелой частицы массы т по конической поверхности (рис. 401). [c.407] В дальнейшем исследовании примем, что частица поступает на поверхность, имея начальную скорость Vg, У направленную по касательной к окружности радиуса Го. т. е. [c.408] Частица дойдет до вершины конуса только в том случае, если пустить ее по образующей конуса, если же скорость частицы имеет начальную горизонтальную составляющую, то при приближении частицы к вершине конуса скорость, согласно интегралу площадей, должна настолько возрасти, что частица вновь начнет подниматься вверх и будет колебаться между предельными окружностями. Конечно, весь этот процесс имеет место только при отсутствии трения силы трения сделают процесс затухающим, скорость вследствие рассеяния энергии уменьшится и частица в конце концов окажется в вершине конуса. [c.410] Пример 145. Эллиптический маятник. Исследовать движение системы двух тел (рис. 404) из которых одно М] массы т скользит без трения по горизонтальной плоскости, а второе Мг массы nu соединено с ним невесомым стержнем длины I и совершает колебания в вертикальной плоскости. [c.410] Система имеет две степени свободы за независимые обобщенные координаты примем Х и ф. [c.411] Это соотнощение имеет простой физический смысл вследствие отсутствия горизонтальных сил центр масс С системы тел движется по вертикали, которую можно выбрать за ось Оу. [c.411] Вернуться к основной статье