ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа — Дирихле Понятие о теоремах Ляпунова из "Курс теоретической механики. Т.2 " Определение понятия устойчивости равновесия связано с рассмотрением тех движений, которые система станет совершать, будучи выведена из положения равновесия путем сообщения ее точкам весьма малых начальных отклонений от положения равновесия и весьма малых нача и ных скоростей. Если после нарушения равновесия система в своем последующем движении будет весьма мало отклоняться от исследуемого равновесного положения, то такое положение равновесия называете устойчивым. [c.336] Будем определять положение системы при помощи независимых обобщенных координат gi, q2,, qk, число которых равно числу степеней свободы системы. [c.336] Например, нижнее вертикальное положение математическ01 0 маятника устойчиво, так как, произвольно задав угол отклонения маятника от вертикали ф = е и угловую скорость ф = R , мы сможем указать такие не равные одновременно нулю и зависящие от е и б1 границы значений для начального угла отклонения фо и начальной скорости фо, что в последующем движении маятника [ф] и ф1 при любом t не превзойдут величин в и et. Наоборот, вертикальное верхнее положение маятника неустойчиво. [c.337] Если в некотором положении системы, подчиненной идеальным голономным связям и находящейся под действием консервативных сил, потенциальная энергия имеет минимум, то эго положение равновесия устойчиво. [c.337] ДЛЯ чего, согласно сказанному выше, достаточно выбрать начальное положение системы лел ащим внутри области минимума функции П. [c.339] Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339] Заметим сначала, что вблизи положения равновесия системы ( 1 = О, 2 = 0,. .., qk — 0) потенциальная энергия П( 71, q ,. .. [c.339] Точно так же функция П будет иметь в начале координат максимум, если члены второго порядка в ее разложении (97) образуют знакоопределенную отрицательную форму. Если же эти члены образуют знакопостоянную отрицательную форму, то суждение о наличии максимума не может быть высказано без привлечения к рассмотрению членов высших порядков. [c.340] В том случае, когда квадратичная форма в разложении (97) может принимать как положительные, так и отрицательные значения (является знакопеременной), функция П не имеет в начале координат ни максим.ума, нн минимума. [c.340] Приводим формулировку теорем Ляпунова. [c.340] Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены высших порядков. [c.341] Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые действительно имеются в разложении потенциальной энергии в степенной ряд. [c.341] В частности, если за силы Fi принять силы тяжести, пропорциональные массам точек, то последнее условие приведется к необходимому условию экстремальности высоты центра масс системы над горизонтальной плоскостью. [c.341] Приведенное доказательство отличается от классического доказательства Лагранжа тем, что в последнем вместо блоков используется система полиспастов, вследствие чего вопрос сводится к рассмотрению равновесия лишь одного груза. [c.342] Пример 127. Груз М веса G подвешен на стержне ОМ, свободно проходящем сквозь вращающийся вокруг оси О цилиндр и шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АОи вращающимся около неподвижного центра 0 (размеры указаны на рисунке). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника (рис. 364). [c.342] Составим выражение потенциальной энергии системы, пренебрегая весом стержней по сравнению с весом груза М-. [c.342] Пример 128. Цилиндр / (рис. 365) радиуса а соприкасается с внутренней поверхностью неподвижного цилиндра // радиуса R и находится под действием силы тяжести G и постоянной по величине и направлению силы Р, передаваемой ему при помощи вертикального штифта 111, скользящего в направляющих вдоль вертикального диаметра цилиндра //. Исследовать устойчивость паинизшего положения цилиид-ра /, пренебрегая силами трения между штифтом и поверхностью этого цилиндра. [c.343] Вернуться к основной статье