ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Исследование устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей из "Динамика вязкой несжимаемой жидкости " Пусть мы имеем две параллельные стенки на расстоянии А друг от друга. Если нижняя стенка будет неподвижной, а верхняя будет перемещаться параллельно самой себе со скоростью U и если перепада давлений в направлении течения не будет, то для основного поля ламинарного течения между параллельными стенками будем иметь прямолинейный профиль распределения скоростей по сечению, т. е. [c.398] Независимыми решениями этого уравнения будут ) цилиндрические функции с индексом т. е. [c.399] В качестве в (3.12) возьмём значение г из (3.9), отвечающее нижней стенке (т = 0), т. е. [c.400] Обозначим через значение г, отвечающее верхней стенке, т. е. [c.400] Так как постоянные Л и 5 не могут обращаться в нуль, то мы должны приравнять нулю определитель системы, т. е. [c.400] Мы ограничимся случаем, когда произведение аР считается малым и когда представляется возможным цилиндрические функции в (3.11) заменить их асимптотическими выражениями в своей простейшей форме. [c.401] Следовательно, интегралы в (3.12) могут быть взяты по прямой, параллельной мнимой оси. Но концы отрезк этой прямой и могут располагаться на плоскости комплексного переменного г в различных местах. От того, в каких четвертях плоскости г будут располагаться точки и будет зависеть вид асимптотических выражений цилиндрических функций. [c.401] В силу детерминантного характера уравнения(3.19) постоянные множители в (3.23) будут сокращаться, поэтому в дальнейшем мы эти постоянные выписывать не будем. [c.402] Таким образом, для случая малых значений Р и при использовании асимптотических выражений (3.21) решение вопроса об устойчивости прямолинейно-параллельного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей сводится к исследованию корней характеристического уравнения (3.29). [c.403] Таким образом, корню х = ш будет отвечать стационарное поле возмущений, амплитуды волн которого со временем не будут изменяться, и, следовательно, вопрос об устойчивости основного течения не может быть решён. [c.404] Выше было проведено исследование характеристического уравнения (3.19) для случая малых значений аР при использовании (3.21). В работе Хопфа ) проведено исследование этого уравнения при произвольных значениях аР и при использовании асимптотических формул для других расположений точек 2о и 21. Результат этих исследований сводится к тому же заключению о невозможности обнаружения неустойчивости рассматриваемого течения методом малых колебаний. [c.404] Обратимся теперь к применению энергетического метода к исследованию устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей. [c.405] Интегрирование в (3.33) проводится по площади, на границе которой проекции вектора скорости поля возмущений обращаются в нуль. [c.405] Так как левая часть (3.36) и числитель в правой части всегда положительны, то знаменатель должен иметь отрицательное значение, а это значит, что проекции и и г должны в большинстве точек внутри площади 5 иметь противоположные знаки. Такой именно случай будем иметь, например, тогда, когда траектории частиц в поле возмущений будут представлять собой подобные эллипсы, малые оси которых наклонены к положительному направлению оси х под некоторым углом (рис. 98). [c.405] При таком предположении (3.41) уравнение неразрывности будет удовлетворяться, а движение частиц в поле возмущений будет происходить по эллиптическим траекториям. [c.406] На основании (3.49) можно заключить, что указанное выше требование о положительности интеграла от М будет выполнено, если коэффициент преобразования а будет меньше единицы. [c.408] Обозначая отношение интегралов через к, т. е. [c.408] Из двух решений этого уравнения берём именно то, которое остаётся конечным при з О, т. е. [c.411] Различие результатов исследований устойчивости ламинарного течения с прямолинейным профилем распределения скоростей, проведённых по методу малых колебаний и с помощью энергетического метода, следует, повидимому, объяснить прежде всего тем, что в первом методе дифференциальные уравнения поля возмущений линеаризируются, тогда как при энергетическом методе нелинейные слагаемые а уравнениях учитываются. [c.412] Вернуться к основной статье