ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Кельвина о циркуляции. Теоремы Гельмгольца из "Математические основы классической механики жидкости " По определению, цирку.гяция Г представляет собой интеграл от вектора скорости по замкнутому контуру, т. е. [c.70] С помощью теоремы Кельвина нетрудно теперь получить три теоремы Гельмгольца, которые так ярко характеризуют геометрические свойства движений, сохраняющих циркуляцию. Первая из этих теорем является чисто кинематической, две остальные легко выводятся из теоремы Кельвина и поэтому справедливы для любого движения, сохраняющего циркуляцию, независимо от природы среды. [c.71] Вихревая трубка определяется обычно как поверхность, образованная вихревыми линиями, пересекающими заданную замкнутую кривую. Это определение, к сожалению, охватывает и такие конфигурации, которые вряд ли можно назвать трубками . В дальнейшем мы ограничимся рассуждениями, справедливыми для тех вихревых трубок, у которых поперечные сечения представляют собой замкнутые кривые без точек самопересечения одну из этих кривых мы выберем в качестве определяющей. [c.71] Пусть (5.1 и — два произвольных замкнутых контура на поверхности трубки с одинаковым направлением обхода (уточним, что каждая кривая должна быть эквивалентна определяющей в смысле непрерывного преобразования, оставляющего кривую на поверхности трубки). Первая теорема Гельмгольца утверждает, что циркуляция по совпадает с циркуляцией по 6-2. Доказательство этой теоремы читатель может найти почти в любом курсе гидродинамики мы рекомендуем обратиться к книге Ламба [8], 145. [c.71] Прежде чем перейти к другим теоремам Гельмгольца, нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, на основе сформулированной выще теоремы мы можем ввести понятие интенсивности вихревой трубки как циркуляции по лежащему на поверхности трубки и охватывающему трубку кон-туру 6. Таким образом. [c.71] Гельмгольца остается спраоедливой даже в том случае, когда поле завихренности кусочно непрерывно, если само поле скоростей остается непрерывным. В-третьих, мы хотим обратить внимание читателя на тот факт, что часто из первой теоремы Гельмгольца делают вывод, что вихревые линии представляют собой либо замкнутые кривые, либо заканчиваются па границе области течения жидкости. Келлог [45, стр. 41] указал на ошибочность этого заключения он заметил, однако, что аналогичное утверждение относительно вихревых трубок справедливо. [c.72] Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что вихревая линия во все время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (это эквивалентно утверждению, что вихревые трубки перемещаются вместе с жидкостью). Эта теорема уже встречалась нам ранее (п. 17) ее можно вывести также из теоремы Кельвина о циркуляции (см. [8], 146). Третья теорема Гельмгольца — интенсивность вихревой трубки остается постоянной во все время движения жидкости — является очевидным следствием теоремы Кельвина. Заметим в заключение, что эти две теоремы также остаются справедливыми, если предполагать только кусочную непрерывность поля завихренности. [c.72] Теоремы о завихренности для течений, в которых циркуляция меняется со временем, будут установлены в п. 40 и в п. 69. [c.72] Вернуться к основной статье