ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Случай двух вихревых трубок, метод изображеМетод конформного отображения из "Теория вихрей " Интеграл / и ( йи равен нулю, так как если бы первая трубка рассматривалась отдельно от остальных, то ее центр масс был бы неподвижным. [c.65] Следовательно, если мы захотим определить скорость центра масс одной из вихревых трубок, то будет достаточно вычислить скорости, сообщенные ей другими вихрями. [c.65] Таким образом, центр масс системы остается неподвижным. [c.67] Предположим, что М равна нулю, тогда скорость и, v) является бесконечно малой второго порядка, элементарная живая сила является бесконечно малой четвертого порядка, и полная живая сила конечна. [c.68] Действительно, если будем считать ёт, (1т электрическими зарядами, распространенными по элементам йи), йи), то функция ф будет представлять, с точностью до постоянного множителя, электростатический потенциал, а функция Р — электростатическую энергию. Как известно, между этими двумя функциями существует соотношение вида (6). [c.69] Таким образом, P представляет, с точностью до постоянного множителя, живую силу Jiy -Ь V ) dus, и эта живая сила постоянна. [c.70] Функция Р п. 71, зависящая только от расстояний pik, при этом не изменится. [c.70] Левая часть уравнения является суммой моментов количества движения, а правая — постоянной. [c.71] Действительно, наши уравнения имеют форму канонических уравнений Гамильтона, которые интегрируются в квадратурах, когда они содержат 2п переменных, и известно п частных интегралов. В случае трех вихревых трубок уравнения содержат шесть переменных xi, у1, Х2, У2, хз, Уз И найдено три частных интеграла. [c.72] Сохраняющаяся величина (4.10) п. 76, очевидно, не является дополнительным интегралом, поскольку получается из гамильтониана с помощью некоторого тождества. Смысл же выражения (4.10) п. 76 в целом состоит, по-видимому, в приведении интересного свойства движения прямолинейных вихрей, аналогичного закону сохранения момента в небесной механике. [c.72] В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан Н и момент инерции I находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является - - Q . Таким образом, задача 3-х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике . [c.72] В частности, если тх = —шг, то точка С находится в бесконечности и траектории точек 01 и 02 превращаются в прямые, перпендикулярные 0102. [c.73] Таким образом, результирующая скорость точки М равна четырехкратной скорости центров вихревых трубок. [c.74] Представим, что жидкость заключена в сосуде, имеющем форму цилиндра, образующие которого параллельны оси Ог. В этом сосуде находится вихревая трубка в форме бесконечно тонкого цилиндра, также параллельного Ог. [c.74] Пусть С (рис. 22) — сечение сосуда в плоскости ху, и А — точка, в которую проецируется сечение вихревой трубки. [c.74] Составляющие скорости и и V должны быть конечными и непрерывными во всей внутренней части сосуда, за исключением точки А. [c.74] В настоящем случае граничное условие заключается в том, что контур С сечения сосуда будет линией тока, т.е., что в каждой точке контура скорость будет касательной к нему. Внутри С V + должна представлять собой функцию от ж - - у/-Лу. Эта функция должна вести себя регулярно, за исключением точки А, где она обращается в бесконечность. [c.75] Соединим центр окружности О с точкой А и обозначим на прямой О А точку В, определенную условием ОА-ОВ = Д2. [c.75] Вихревая трубка, параллельная оси Ог, следом которой является точка В и момент которой равен —2тг, называется изображением точки А по отношению к окружности С. [c.75] В бесконечном пространстве, заполненном жидкостью, трубки А и В образуют линии тока, представляющие собой окружности, по отношению к которым В и А были бы сопряженными (п. 64). [c.75] Вернуться к основной статье