ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение компонент скорости как функций компонент вихря. Частный случай жидкости из "Теория вихрей " Применим теорему Грина к сфере очень большого радиуса. [c.40] Следовательно, скорость равна нулю и жидкость покоится. [c.40] Таким образом, скорость равна нулю в любой точке сосуда. [c.41] Если задана постоянная величина разрыва J вдоль кривой второго рода, то движение жидкости полностью определено. [c.41] Составляющие скорости одинаковы в обоих случаях таким образом, имеется единственно возможное движение. [c.42] Таким образом, задача допускает только единственное решение. [c.44] например, объем является двусвязным. Проделаем один разрез. Пусть Jo — значение интеграла, взятого по замкнутой кривой, пересекающей разрез только один раз. [c.44] Задача будет определена, если помимо т], ( задать величину Jo. [c.44] В этом случае система уравнений Гельмгольца имеет ту же форму, что и система уравнений Максвелла для магнитного поля. [c.45] Предположим, что нам известны величина и направление вихревого вектора. Разделим этот вектор на 2тг и будем считать, что полученный таким образом вектор представляет собой электрический ток. Полученная таким образом система токов создает магнитное поле, вектор которого, кроме того, задает скорость частиц жидкости в той же точке. Таким образом, силовые линии магнитного поля аналогичны линиям тока гидродинамических течений. [c.46] Интеграл J, взятый вдоль кривых первого рода, равен нулю, а взятый вдоль кривых второго рода равен не нулю, а моменту трубки. [c.47] Сечение трубки бесконечно мало, поэтому трубка может быть рассмотрена как замкнутая кривая, которую назовем осью трубки. Через ось вихревой трубки мы можем провести некоторую поверхность и принять за Рис. 14 разрез ее часть, ограниченную осью вихря. Все замкнутые кривые, не пересекающие такой разрез, будут кривыми первого рода, а пересекающие — кривыми второго рода п. 30. [c.47] Вычисленное таким образом значение (p в точке М зависит от поверхности, выбранной в качестве разреза. Оно является одинаковым, если два разреза не заключают между собой точку М, и изменяется, если точка М находится между двумя поверхностями, последовательно выбранными в качестве разрезов. [c.48] Если бы имелось несколько вихревых трубок, то функция р всей системы представляла бы собой сумму функций pi, ip2,. .. каждой из трубок, для которых верно то же соотношение. [c.48] Согласно закону Био-Савара, действие этого тока на магнитный полюс М перпендикулярно плоскости МРО и обратно пропорционально расстоянию г от точки М до прямой Р . Таким образом, скорость частицы жидкости М будет перпендикулярна плоскости МРО и обратно пропорциональна ее расстоянию от оси вихревой трубки. [c.49] В силу симметричности, скорость должна находиться в плоскости Д, проведенной через точку М перпендикулярно прямой Р . С дру-гой стороны, если рассмотрим плоскость PMQ, то эта плоскость, собственно говоря, не является плоскостью симметрии. Действительно, примем за плоскость рисунка плоскость К (рис. 15). Прямая PQ проектируется на эту плоскость в точку М, а ММ является следом плоскости РМО. Пусть вихрь имеет направление, определенное стрелкой, а скорость жидкости направлена вдоль МУ. [c.49] Рассмотрим отражение рисунка относительно МТУ. Момент вихревой трубки сохранит то же значение, но при этом вихрь сменит направление. Таким образом, скорость сохранит свою абсолютную величину и расположение, но изменит направление и станет МУ. Поскольку МУ должен быть симметричен МУ относительно ММ, необходимо, чтобы МУ был перпендикулярен следу плоскости ММ. Следовательно, он перпендикулярен и плоскости MPQ, так как известно, что МУ находится в плоскости Я. [c.49] Таким образом, эта скорость обратно пропорциональна расстоянию МТУ = р, как и было найдено выше другим способом. [c.50] Для простоты будем говорить, что функция (р порождена контуром С, когда она обусловлена вихревой трубкой, осью которой является контур С, а момент принимается равным единице. Выбор единицы, очевидно, ничего не меняет в большинстве наших доказательств. Приведем сначала несколько теорем, которые будут необходимы для получения выражения функции (р. [c.50] Вернуться к основной статье