ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Гельмгольца из "Теория вихрей " Если ж, у, г являются непрерывными функциями от Жо, уо, го, то частицы жидкости, образующие в начальный момент времени i = О кривую или непрерывную поверхность, образуют новую кривую или непрерывную поверхность в некоторый момент времени если же кривая в начальный момент времени замкнута, то она остается таковой в любой момент времени Ь. [c.11] Эти уравнения определяют также непрерывную кривую. [c.11] Если первоначальная кривая Со замкнута, то жо, уо, го являются периодическими функциями от а. Так как х, у, г — однозначные функции Жо, Уо, го, они также будут периодическими функциями от а, а кривая С, заполненная частицами в момент времени Ь, также является замкнутой. [c.11] Отметим, что в последней форме содержится два вида производных. [c.13] Для того чтобы доказываемый далее результат был справедливым, необходимо, чтобы р была функцией только от р. Это возможно, если рассматривать идеальную жидкость или газ, которые подчиняются закону Мариотта. Согласно этому закону температура постоянна (р = р), или если речь идет о газе, то можно предположить, что он подвергается адиабатическому преобразованию (р = р ). Если температура не является постоянной, то необходимо, чтобы поверхности с равными давлениями совпадали с поверхностями равных температур. Также, если имеются две несмешиваемые жидкости, необходимо, чтобы давление было постоянным на поверхности раздела, для которой можно непосредственно применить теорему. [c.14] Указанная форма интеграла отличается от формы Гельмгольца, первоначально введенной им в своей теореме, но, как мы увидим далее, эквивалентна последней. [c.15] При этом я считаю, что каждая из сумм является полным дифференциалом. [c.16] Это — известная теорема анализа. То же самое будет и в двух других координатных плоскостях. [c.17] Теперь теорема доказана в общей постановке, так как произвольная площадь может быть разложена на достаточно маленькие треугольники, подобные АВС. [c.18] В своем известном трактате Максвелл часто пользовался этой теоремой. [c.18] Согласно установленному нами уравнению (6), этот интеграл, взятый по площади А, постоянен при движении этой площади. [c.18] Вектор, имеющий компоненты ( , г], (), Гельмгольц назвал вихрем (завихренностью) . Этот термин требует некоторых пояснений. [c.19] В этом случае вихревые линии являются прямыми, параллельными оси Ог. [c.21] Рассмотрим дугу некоторой кривой АВ (рис. 5), через различные точки этой кривой проведем вихревые линии. Результатом их совокупности будет вихревая поверхность, которая является односвязной, если кривая АВ не замкнута. [c.21] Ио нормальная составляющая вихря -Ь тт] -Ь п( равна нулю для всех элементов площади а, принадлежащей вихревой поверхности. Это и приводит к равенству / = 0. [c.21] Действительно, согласно вышесказанному, в начальный момент времени = О интеграл 1 равен нулю для занятой этими частицами поверхности. По теореме Гельмгольца J остается постоянным. Таким образом, этот интеграл будет равен нулю в любой другой момент времени, а занятая частицами в этот момент времени поверхность снова будет вихревой. [c.22] Пересечение двух вихревых поверхностей является вихревой линией, и, напротив, любая вихревая линия всегда определяет две вихревые поверхности. [c.22] Теперь рассмотрим множество частиц жидкости, занимающих в начальный момент времени = О вихревую линию Со- В момент времени i эта линия принимает некоторое положение С. Я утверждаю, что С также является вихревой линией. [c.22] Действительно, пропустим через Со две вихревые поверхности о и 8 . В момент времени I эти две поверхности переходят в 5 и 5 , образующие при пересечении кривую С. Согласно уже доказанному, 5 и 5 остаются вихревыми поверхностями, таким образом, пересечение С вновь является вихревой линией. [c.22] Кривые С первого рода ограничивают часть площади на поверхности. [c.22] Вернуться к основной статье