ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Более точное исследование движении однородной жидкости без трения. Потенциальное течение из "Гидроаэромеханика " После этих предварительных объяснений мы можем сформулировать теорему Томсона В однородной жидкости, лишенной трения, циркуляция вдоль замкнутой жидкой линии остается все время постоянной. Из этой теоремы можно вывести много важных следствий. Первое из них заключается в следующем. [c.83] Если движение начинается из состояния покоя, то вначале, т. е. до возникновения движения, циркуляция вдоль каждой замкнутой жидкой линии заведомо равна нулю, поэтому и в дальнейшем она остается все время равной нулю. Но если в какой-нибудь области криволинейный интеграл вдоль любой замкнутой кривой равен нулю, то криволинейный интеграл, взятый от одной точки А до какой-нибудь другой точки В рассматриваемой области, не зависит от пути, по которому производится интегрирование. В самом деле, пройдя из точки А в точку В по какому-нибудь пути, вернемся по этому же пути назад в точку А, а затем пройдем опять в точку В по новому пути. Мы получим сумму трех криволинейных интегралов Л1 -Ь Лг -Ь Л3, которая пусть равна а. Из этих интегралов первые два взаимно уничтожаются, так как при прохождении в разные стороны по одному и тому же пути направления всех элементов д,з изменяются на противоположные, следовательно, интеграл Л3, взятый по новому пути из А в В, равен а. С другой стороны сумма интегралов Л2 - - Лз равна нулю, так как она составлена для замкнутой кривой, поэтому первый интеграл, взятый по старому пути от А к В, равен Лх = а. Следовательно, Л1 = Л3, что и требовалось доказать. [c.83] Обратно, если Фс = Фв, то отрезок ds = ВС всегда перпендикулярен к направлению скорости w. Совокупность всех точек, для которых потенциал Ф равен Фд, т. е. имеет некоторое постоянное значение, образует поверхность, проходящую через точку В и отделяющую область, в которой Ф Фд, от области, где Ф Фд. Плоскость, касательная к этой поверхности в точке В, согласно только что сказанному, перпендикулярна к вектору скорости w в точке В. Отсюда следует, что линия тока, направление которых в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости, везде ортогональны к поверхностям равного потенциала Ф = onst. [c.84] Можно было бы перед gradФ взять знак минус и тем самым обеспечить более полную аналогию с потенциалом сил. Так иногда и делается, однако для гидродинамических расчетов удобнее брать перед gradФ знак плюс, что мы в дальнейшем и будем делать. [c.85] Следовательно, величиной — удобно пользоваться в качестве меры вращения жидкости. [c.86] В реальных жидкостях, которые всегда обладают вязкостью, вместо поверхностей раздела образуются слои раздела, правда, обычно очень тонкие. Слой раздела всегда образуется из частиц, двигающихся в непосредственной близости от поверхности твердого тела, где влиянием трения нельзя пренебрегать даже при очень малой вязкости. Поэтому точный анализ явлений, происходящих внутри слоя раздела, возможен только на основе учета вязкости. Для изучения явлений, происходящих вне слоя раздела, но связанных с его существованием, обычно достаточно рассматривать вместо слоя раздела поверхность раздела. Влияние трения будет подробно рассмотрено в 1-6 гл. III. [c.87] Если интегрирование производится вдоль замкнутой кривой, то точки А и В совпадают, и правая часть равенства (34) делается равной нулю. Таким образом, теорема Томсона доказана. По поводу допущений, сделанных при ее доказательстве, заметим следующее. О том, что силовое поле должно иметь потенциал, мы не упомянули в приведенной выще формулировке теоремы, так как исходили из предположения, что массовые силы не проявляют своего действия. Второе, более важное допущение — об однородности жидкости — было указано в формулировке теоремы. Для неоднородной жидкости теорема Томсона не имеет места. [c.89] Вернуться к основной статье