ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эйлерова форма законов сохранения массы и энергии, теоремы количеств движения н момента количеств движения при стационарном движении идеальной жидкости из "Механика жидкости и газа " Эйлеру пpинaд teжит общепринятый в настоящее время прием выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже упоминалось в 11). [c.136] Условимся в дальнейшем называть контрольной поверхностью , соответствующей некоторому движущемуся индивидуальному жидкому объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени. Контрольная поверхность представляет зафиксированную мгповеппую форму поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в пространстве, дефор-.мирующийся жидкий объем в каждый данный момент времени протекает сквозь собственную контрольную поверхность, соответствующую рассматриваемому моменту времени. [c.136] Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равно переносу той же величины сквозь контрольную поверхность, ограничивающую этот объем в данный момент времени. [c.137] Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только что проведенном доказательстве определялась индивидуальная конвективная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение но времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся объем, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или газа. Это означает, что внзп-ри объема не могло быть источников притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие — особые — точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их следует дополнительно выделять контрольными поверхностями, например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер в общую совокупность поверхностей, ограничивающих объем интегрирования таким приемом приходится постоянно пользоваться при рассмотрении движения жидкости. [c.138] Примечание. Непрерывность распределения в пространстве величины Ф была использована при выводе формулы (29) лишь в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока. Что же касается объема трубки А ОСВ, общего для начального и смещенного положений движущегося объема АОСВ и выпадающего ири вычислении приращения объемного интеграла, то внутри этого объема величина Ф может изменяться произвольным, непрерывным или прерывным, образом, лиип, бы только интеграл сохранял определенный смысл. [c.138] Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29) непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва. Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе. [c.139] В этой форме закон сохранения массы можно проформулировать так при стационарном движении жидкости или газа секундный массовый расход сквозь сечение элементарной трубки тока одинаков вдоль всей трубки. [c.139] Величину /И, по аналогии с величиной потока вихря сквозь любое ссчение вихревой трубки (вторая теорема Гельмгольца, гл. I, 12), можно было бы назвать интенсивностью трубки тока. [c.140] Закон сохранения массы, не связанный, как видно из приведенных выводов, с представлением об идеальности жидкости, справедлив и в случае неидеальной жидкости. [c.140] Это равенство ничем не отличается от закона сохранения (20). [c.141] Последний интеграл, взятый с отрицательным знаком, можно трактовать, как перенос количества движения через поверхность о, направленный внутрь объема т. Действительно, орт внешней нормали п направлен наружу объема, так что, если в некоторой точке поверхности вектор скорости V направлен также наружу объема ( 0), то элемент интеграла —р йо направлен внутрь объема если же вектор V направлен внутрь объема, то 1 0 и элемент интеграла направлен в ту же сторону, что и вектор V, т. е. опять внутрь объема. [c.141] Равенство (38) дает следующую формулировку теоремы об изменении количества движения если в стационарном потоке идеальной жидкости выделить некоторый объем, то сумма главного вектора объемных сил, приложенных к выделенному объему, главного вектора сил давления, приложенных к его поверхности, и переноса количества движения через эту поверхность, направленного внутрь объема, равна нулю. [c.141] Интеграл давлений по боковой поверхности трубки выделен особо, так как в приложениях этот интеграл имеет самостоятельное значение (главный вектор сил давления на стенки канала, по которому течет жидкость, и др.). [c.142] Принимая во внимание сделанное в конце 22 примечание о возможности применения эйлерова представления конвективной производной в том случае, когда внутри объема, ограниченного контрольной поверхностью, имеются поверхности разрыва интегрируемой величины, можем заключить о применимости в этом случае и эйлеровых форм законов сохранения массы и энергии, а также теоремы количеств движения. [c.142] Вернуться к основной статье