ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вихревые линии и трубки. Вторая теорема Гельмгольца. Интенсивность вихревой трубки из "Механика жидкости и газа " Возьмем теперь в поле скоростей любой конечный объем т, разобьем его поверхностями трубок тока на бесчисленное множество элементарных объе--мов при этом входные и выходные сечения а заполнят всю поверхность о, ограничивающую объем т. [c.63] Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и вспоминая (24), получим формулу (63). [c.65] В общем случае дивергенция вектора определяется как предел отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция, т. е. [c.65] Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно повторить для элемента объема в любой системе криволинейных координат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить, таким образом, выражение дивергенции вектора-функции в криволинейной системе координат это будет сделано далее в гл. VII. [c.65] Из формулы (62 ) легко выводится важная для дальнейшего интегральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским академиком М. В. Остроградским (1801—1861). [c.65] Разобьем любой конечный объем т на большое число малых объемов Дт обозначим поверхность, ограничивающую т, через о, а Дт — через До. [c.65] Если положить а = У, т. е. применить формулу (66 ) к скоростному полю, то левая часть представит секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность а, а правая часть определит скорость увеличения объема т жидкости со временем естественно, что скорость увеличения объема равна секундному объемному расходу жвдкости сквозь поверхность, окружающую этот объем. [c.67] Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти, например, в ранее указанном руководстве по векторному исчислению Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади граней замкнутого многогранника. [c.67] Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести интегральные представления к интегральные формулы, аналогичные только что выведенным формулам (62) и (66). [c.68] Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этик формул при Яд, = , ау = v, = да. [c.71] Напомним общий способ построения векторных линий, особо поучительный в данном конкретном случае. [c.72] Вихревые трубки обладают обшим свойством, выражаемым второй теоремой Гельмгольца поток вихря вектора через сечение вихревой, трубка одинаков для всех сечений трубки. [c.73] Из равенств (76) вытекает следующая гидродинамическая формулировка второй теоремы Гельмгольца поток вихря скорости сквозь сечение вихревой трубка одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки, или иначе поток угловой скорости сквозь сечение вихревой трубка одинаков в данный момент времени для всех сечений трубки. [c.74] Отсюда следует, что в меньшем по площада сечении трубки угловая скорость вращения больше, и наоборот. [c.74] Вернуться к основной статье