ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Приближенная теория диффракции длинных волн в двух измерениях. Диффракция острой кромкой и щелью в тонком экране из "Гидродинамика " Мы видели ( 280), что при известных условиях представляет внутреннюю энергию. [c.618] Этот результат позволяет дать доказательство однозначности определения движения по заданному начальному распределению скоростей и плотностей. В самом деле, если бы ifi, были две различные формы потенциала скоростей, соответствующие одним и тем же начальным условиям, то для движения с потенциалом скоростей tpssfp —q сумма T+W должна была бы все время быть равной нулю, ибо она должна исчезать в начальный момент. Но так как каждый элемент в выражениях для Т W существенно положителен, то это требует, чтобы производные от q по х, у, 2, t все исчезали, а это обозначает, что Vt могут различаться между собой только на абсолютное постоянное ). [c.619] Этот ход доказательства годится, естественно, для всех тех случаев, для которых можно утверждать, что поверхностный интеграл в равенстве (3) исчезает. [c.619] Этот результат можно также получить из 280, так как сферические волны с возрастанием радиуса приближаются по форме к плоским волнам 1). [c.621] Подобным же образом второй член в формуле (9) представляет сток, в котором энергия поглощается в количестве (13) в единицу времени. Однако, представление о стоке энергии является для акустики очень искусственным и в действительности не применяется. [c.621] Это выражение можно получить или способом, указанным выше, или из теории плоских волн. [c.621] Напомним здесь, что эти вычисления имеют силу только в случае изолированного источника в свободном пространстве. Присутствие же препятствий в значительной степени может изменить приведенные результаты. Например, в случае простого источника, находящегося вблизи от бесконечной плоской стенки, амплитуда колебаний в любой точке удваивается вследствие отражения, и явление протекает таким образом, как если бы это отражение приходило от зеркального изображения источника, между тем как излучение энергии оказывается увеличившимся в четыре раза. Наоборот, источник, со всех сторон окруженный твердыми стенками, не производит вообще никакой работы, так как энергия газа остается постоя чой. [c.621] Следует заметить, что, как и в 58, какое-то частное распределение источников на границе, выражаемое формулой (5), представляет только одно из бесконечного числа возможных распределений, которые дают точно такое же значение функции р для внутренних точек области. Так, например, в результате сложения равенств (5) и (6) мы получим другое подобное же распределение, которое, кроме того, может быть изменено бесчисленным множеством способов путем изменения положения точки Р ). [c.623] Эта формула выражает то обстоятельство, что в бесконечности мы не имеем никаких источников звука. [c.623] На том же основании формулы (8) и (9) нельзя применять без каких-либо ограничений к случаю бесконечной области, так как определение вспомогательной функции может оказаться невозможным. [c.624] Однако определение у становится невозможным, когда к есть корень уравнения 81пАа=0. В самом деле, оказывается, что в этом случае равномерное распределение простых источников по поверхности шара с радиусом а не оказывает никакого действия на внешние точки. [c.624] Таким образом, для расстояний, малых по сравнению с длиной волны, можно вычислять изменения р так, как если бы удовлетворялось уравнение А р = 0. Это правило оказывается очень полезным для приближенного решения различных акустических задач (ср. 299 300). [c.625] Некоторые авторы считали, что эта формула содержит точную математическую формулировку принципа Гюйгенса в акустике однако, как мы это заметили уже в связи со специальным случаем (5), представление функции таким способом оказывается в значительной степени произвольным и неопределенным. [c.626] Можно показать, что функция (2) есть единственное решение уравнения (I), годное для всех точек пространства и исчезающее в бесконечности. В случае ограниченной области мы можем присоединить еще произвольное решение уравнения ( 49 = 0 благодаря этому оказывается возможным удовлетворить граничным условиям. [c.627] Из формул (9) и (11) мы получаем, вводя опять множитель, зависящий от времени. [c.628] Приложения сферических функций. [c.628] Вернуться к основной статье