ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Соотношение между функцией тока и потенциалом скорости. Источник в плоскости Электрические аналогии из "Гидродинамика " Если внутренние граничные поверхности области таковы, что полный поток через них равен нулю, например, если они представляют поверхности твердых тел или частей несжимаемой завихренной жидкости, то тогда будет М = 0, и, следовательно, р на всякой сферической поверхности, заключающей все внутренние границы, имеет одно и то же среднее значение. [c.59] Следует помнить, что сферические поверхности, к которым относятся эти теоремы, переводимы друг в друга в том смысле, о котором шла речь в 34. [c.59] Эта теорема иначе может быть выражена следующим образом. В односвязной области, полностью ограниченной неподвижными твердыми стенками, не может иметь места непрерывное безвихревое движение жидкости. [c.60] Если р на внутренних границах области постоянна и на бесконечном расстоянии от них всюду стремится к тому же самому постоянному значению, то она постоянна во всей области. Ибо иначе в некоторой точке внутри области функция q) имела бы максимум или минимум. [c.61] Совершенно так же, как и в 40, мы заключаем, что значение (р всюду вполне определено, если эта функция задана произвольно на внутренних границах и имеет постоянное значение в бесконечности. [c.61] Из 38 и 39 мы знаем, что среднее значение р на внутренней сферической поверхности равно значению (р в центре Р и что среднее значение на внешней сферической поверхности (так как М = 0) равно постоянной величине С. Отсюда следует, наконец, что значение р в бесконечности всюду стремится к постоянному значению С. [c.62] Тот же самый результат имеет место и тогда, когда компонента скорости по нормали на внутренней границе не равна нулю. Ибо в теореме 39 М делится на г, который в нашем случае бесконечен. [c.62] Пусть имеем (/, V, три любые функции, которые конечны, однозначны и диференцируемы для всех точек связной области, целиком ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями 5. Пусть 63 — элемент одной из этих поверхностей и I, т, п — направляющие косинусы его нормали, направленной внутрь. [c.62] Таким образом формула (1) просто выражает тот факт, что поверхностный интеграл (2), распространенный по границе области, равен сумме соответствующих интегралов, распространенных по поверхностям пространственных элементов, из которых может быть составлена рассматриваемая область. [c.63] Функция А подчинена здесь только тому ограничению, что она во всей области остается конечной, однозначной и непрерывной и обладает конечными первыми производными. [c.64] Уравнения (5) и (6) вместе и выражают теорему Грина ). [c.65] Чтобы истолковать это уравнение, умножим об,е части его на д. [c.65] Так как правая часть этого уравнения существенно положительна, то среднее значение на сферической поверхности, описанной около произвольного центра, возрастает вместе с радиусом сферы. Поэтому ц ни в какой точке жидкости не может иметь максимума, что уже доказано другим путем в 37. [c.66] Безвихревое движение капельной жидкости в односвязной области обладает меньшей кинетической энергией, чем всякое другое движение с одинаковой нормальной компонентой скорости на границе. [c.67] Рассмотрим некоторую связную область пространства, заключенного внутри какой-то границы. Область называют связной, если возможно от некоторой произвольной точки ее перейти к другой произвольной ее точке вдоль бесконечно большого числа путей, каждый из которых лежит всецело внутри области. [c.68] Перегородкой или диафрагмой называется проведенная через область поверхность, граница которой образована линией или линиями, по которым эта поверхность пересекает границу области. Поэтому перегородка необходимо должна быть связной поверхностью и не может состоять из двух или нескольких отдельных частей. [c.69] Область называется односвязной, если все пути, проведенные между какими-нибудь ее точками, взаимно переводимы или все взятые в ней замкнутые кривые приводимы. [c.69] Область называется двусвязной, если между двумя ее точками А VI В могут быть проведены два и только два пути взаимно непереводимые всякий другой путь между А и В переводим в один из этих обоих или в комбинацию их, в которой каждый может входить несколько раз. Другими словами область такова, что в ней может быть проведен один и только один неприводимый простой контур все другие контуры переводимы или в этот (или возможно в кривую, образованную из него через повторение) или же они приводимы. Как пример двусвязной области мы можем взять область, заключенную внутри кольца (тора), или область вне кольца, простирающуюся в бесконечность. [c.69] Вообще область называется п-связной, если в ней могут быть проведены можду двумя точками п и только п взаимно непереводимых путей или если могут быть проведены п — 1 и не больше (простых) неприводимых и взаимно непереводимых замкнутых кривых. [c.69] Вернуться к основной статье