ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Несжимаемая жидкость трубка тока. Функция у не имеет максимума и минимума Скорость не имеет максимума. Среднее значение функции р на сферической поверхности из "Гидродинамика " Если q меньше с, то соответствующая точка эллипса лежит ниже ОО. В суживающейся трубке она занимает последовательно положения А, В, С, причем скорость течения возрастает, а скорость звука уменьшается, пока не будет достигнуто критическое сечение а. Если, с другой стороны, q больше с, то соответствующие точки лежат над ОО. В суживающейся трубке мы имеем последовательные положения точек А, В, С, при которых скорость течения уменьшается, а скорость звука возрастает. [c.43] Следовательно, количество жидкости, вытекшей в единицу времени, равно где д и д имеют только что найденные значения, и оно поэтому почти не зависит от внешнего давления рх, пока последнее остается меньшим 0,527ро- Физическое основание этого состоит в том, как утверждает Рейнольдс, что до тех пор, пока скорость в какой-либо точке превосходит при допущенных условиях скорость звука, из этой точки не может распро страняться назад никакое изменение давления, которое могло бы сообщить движение, противоположное течению ). [c.44] Новейшие опыты Стантона ) подтверждают в общем точку зрения Рейнольдса и разъясняют некоторые кажущиеся противоречия. [c.44] При аналогичных соотношениях для давления, скорости истечения различных газов, поскольку можно допустить, что у для каждого из них имеет то же самое значение, пропорциональны соответствующим скоростям звука. Поэтому, как мы увидим в главе X, скорость истечения будет меняться обратно, а вытекающее в единицу времени количество жидкости прямо пропорционально квадратному корню из плотности ). [c.44] Мы имеем здесь пример циклической функции. Функция называется однозначной в некоторой области, если каждой точке этой области соответствует одно и только одно определенное значение функции таким образом, что эти значения образуют непрерывную систему. Это невозможно для функции (2), так как значение ср меняется на — 2л1л всякий раз, когда соответствующая точка описывает замкнутую линию около начала координат. Общая теория циклических потенциалов скоростей будет дана в следующей главе. [c.46] Так как р обязательно есть однозначная функция, то должно быть = /i или A = /i/. Поэтому жидкость вращается с угловой скоростью, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния от оси и прямо пропорциональна времени. [c.47] Таким образом движение малого элемента с центром (х, у, г) можно мыслить состоящим из трех частей. [c.49] Первая часть, компоненты которой суть и, V, IV, есть поступательное движение элемента, взятого как целое. [c.49] Формулы (5) выражают то, что длина всякого отрезка элемента, параллельного х, удлиняется на (положительную или отрицательную) величину, пропорциональную а, в то время как отрезки, параллельные у и z, соответственно удлиняются пропорционально Ь и с. Такое движение называется чистым растяжением, а главные оси поверхностей второго порядка (4) называются осями растяжения. [c.49] Вектор, компоненты которого суть i, г], обыкновенно называют вихрем среды в точке (х, у, z). [c.49] Легко убедиться, что указанное выше разложение движения является единственным. В самом деле, если мы предположим, что движение относительно точки (х, у, Z) может быть составлено из растяжения и из вращения так, что оси и коэфициенты растяжения, а также ось и угловая скорость вращения произвольны, то тогда, вычисляя компоненты относительной скорости ди, до, JV, мы получим такие же выражения, как и в правой части (3), но с произвольными значениями а, Ь, с, /, i, h, S, t] С- Сравнивая коэфициенты при дх, ду, dz, мы найдем, однако, что а, Ь, си т. д. должны иметь те же значения, что и прежде. Отсюда следует, что направления осей растяжения, величины растяжения или сжатия вдоль них, а также ось и величина завихрения в какой-либо точке зависят только от состояния относительного движения в этой точке, но не от выбора координатных осей. [c.50] Если в конечной части жидкости все три компоненты S, rj, С равны нулю, то относительное движение для всякого элемента этой части состоит только из чистого растяжения и называется безвихревым. [c.50] ПО положению и направлению, в основном пропорциональна площади элемента. [c.51] Этим самым мы даем независимое доказательство того, что определенные в (2) 30 величины i, tj, i могут быть рассматриваемы как компоненты вектора. [c.52] Заметим, что необходимо условиться относительно связи между направлением, в котором взята циркуляция вокруг контура элемента OS, и направлением нормали (I, т, п). Для определенности будем принимать в этой книге, что оси координат образуют правую систему так что если оси х и у соответственно указывают на восток и на север, то ось z будет направлена вертикально вверх ). Направление, в котором взята циркуляция, данная формулой (2), находится к направлению нормали ( , т, п) в отношении, характеризуемом правым винтом ). [c.52] Значение поверхностного интеграла, взятого по замкнутой поверхности, равно нулю. [c.53] Отметим, что (4) представляет чисто математическую теорему и имеет место для любых функций ц, V, IV от х, у, г, предполагая только, что они во всех точках понерхности непрерывны и диферен-цируемы ). [c.53] Физическое значение этих исследований состоит именно в том, что движение части жидкой массы при известных, очень общих условиях остается все время безвихревым, если оно было безвихревым в некоторый момент. Это положение в действительности уже установлено, как мы увидим, при помощи доказанной в 17 теоремы Лагранжа, однако ввиду важности вопроса позволительно повторить доказательство в обозначениях Эйлера в форме, данной Кельвином ). [c.53] Отсюда следует, что если движение части жидкости было сначала безвихревым, то оно сохраняет это свойство и в дальнейшем ибо в противном случае циркуляция по всякой бесконечно малой замкнутой кривой согласно уравнению (3) 32 не равнялась бы постоянно нулю, как это имело место вначале. [c.54] Вернуться к основной статье