ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о встречных струях. Задача о вихрях. Вращение жидкости в сосуде. Пространственные задачи Кумулятивные струи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " В отличие от аналогичной задачи, в которой глубина основного течения бесконечна (см. гл. V 22), в классе областей D, диаметр которых ограничен снизу положительной постоянной и кривизна у также ограничена, эта задача не всегда разрешима. Именно, если фиксировать Усо, то найдется значение ho такое, что при h aho задача оказывается неразрешимой. [c.236] Качественное обоснование этого утверждения таково. В точке (а, 0), где струя встречает завихренную зону D, скорость течения должна быть равной нулю, а на свободной границе Г величина скорости равна Усх,, кроме того, Б рассматриваемой схеме производные скорости ограничены. Если взять ширину струи h очень малой сравнительно с диаметром D и величиной, обратной кривизне у, то на у найдется точка расположенная от а, 0) на расстоянии d малом, но большом в сравнении с h, скажем, d Yh. Скорость течения в точке при малом h будет сколь угодно близка к Voo, а, с другой стороны, эта точка близка к точке (а, 0), где скорость равна 0. Это противоречит ограниченности производных скорости, и следовательно, в наших условиях течений с очень малыми h сухцествовать ие может. [c.236] Физически более естественным является следующий вариант задачи. Рассмотрим (в плоской постановке) обтекание струей шириной h угла, образованного положительными полуосями X и у, скорость в бесконечности пусть равна Уоо и направлена вниз по оси у (рис. 78). Классическое решение этой задачи проводится в схеме потенциального течения и состоит в отыскании линии Г (границы струи) из условия постоянства па ней величины скорости V Уоо. Однако эта схема далека от действительности. Реальная жидкость не любит ни очень больших, ни очень малых скоростей и особенно избегает больших перепадов скоростей. Поэтому на самом деле в значительном диапазоне скоростей Усо у вершины обтекаемого угла (где в потенциальной схеме скорость течения обращается в нуль) возникает завихренная зона. [c.236] Еще ближе к действительности схема неуста-новившегося движения. [c.237] Такими движениями мы займемся в следующей главе, а здесь лишь рассмотрим постановку, связанную с задачей обтекания угла. В реальной жидкости под влиянием вязкости размер завихренной зоны с течением времени будет увеличиваться. Кроме того, вследствие трения о нижнюю стенку угла на эту зону будет действовать сила, направленная вправо, а силы сцепления с вертикальной стенкой будут ее удерживать. В результате завихренная зона, увеличиваясь, приобретает склонность вытягиваться в горизонтальном направлении. По достижении некоторого критического размера вихревая зона срывается со стенки и уносится потоком. После этого вблизи вершины угла образуется новая вихревая зона, которая растет до критического размера и вновь срывается и т. д. [c.237] Было бы весьма интересно построить математическую модель обтекания угла по этой схеме и, в частности, оценить критический размер вихревой зоны, по достижении которого она срывается. [c.237] Для практических целей можно задавать значения ф на разрезе, и тогда, решая соответствующую смешанную граничную задачу, получать классы движений с различными контурами у. [c.241] Пусть теперь у— граница области конечного диаметра (мы будем считать ее гладкой, а область — выпуклой), тогда можно действовать так же, как в только что разобранном случае. Однако этот случай имеет существенное отличие от предыдущего решение не определяется заданием величины Уоо обтекаемого контура, ширины и положения струи вблизи х = = — оо. Мы получаем при таком задании семейство решений, зависящее от одного параметра. Этот параметр можно определить, задавая еще точку встречи струй на контуре (вторую критическую точку течения) или циркуляцию скорости вокруг у. Иными словами, положение здесь такое же, как в задаче обтекания тела неограниченным потоком, которую мы рассматривали в 18 гл. V и которая является предельным случаем рассматриваемой здесь задачи при q = q = оо. [c.241] Весьма любопытно было бы получить семейство решений задачи струйного обтекания пластинки, зависящее от некоторого параметра и осуществляющее непрерывный переход от схемы течения с односвязной зоной постоянной завихренности (рис. 81, а) к схеме Кирхгофа (рис. 81,г). Вероятно, более простыми являются схемы рис. 81, 6 и б, в первой из которых можно воспользоваться малостью зоны постоянного давления, а во второй — узостью вихревой зоны. [c.243] Интересно также построить математическую модель решения этой задачи в схеме неустановившегося движения. Здесь постановка такова плоская пластинка мгновенно помещается в перпендикулярную к ней струю, и сразу же под влиянием вязкости у краев пластинки (где скорость потенциального течения бесконечна) начинают возникать небольшие зоны постоянной завихренности. С течением времени эти зоны растут, деформируются и по мере достижения некоторых критических размеров срываются с пластинки в поток. После этого у краев пластинки начинают расти новые вихревые зоны и процесс повторяется. [c.243] Задача о затопленной струе. Пусть имеется бесконечно глубокий потенциальный поток идеальной жидкости, движущийся над дном (осью х) со скоростью ь — оо пусть в этот поток со дна (у точки л = 0) втекает струя со скоростью 2, направленная под углом а к дну, и требуется определить, как эта струя будет двигаться. [c.243] На самом деле это — задача на неустановившееся движение. Быть может, для ее решения даже нет устойчивой схемы, и очень интересно было бы выяснить, как именно развивается в ней неустойчивость. Однако в некотором приближении можно попытаться описать явление в схеме установившегося движения. [c.243] Можно ожидать, что эти схемы допускают сравнительно несложное математическое описание. [c.244] Два гидродинамических эффекта. Первый эффект известен давно и на нем основано несколько игрушек. Он состоит в следующем легкий шарик (например, из пробки или мяч от пинг-понга) может устойчиво держаться в тонкой струе воздуха или воды, направленной вверх. [c.244] Та же тенденция будет наблюдаться и в случае, когда ось струи не проходит через центр. круга — в первом приближении можно считать, что точка 2г диаметрально противоположна 21- Однако нужно еще учесть, что в более толстой струе потеря скорости вследствие вязкости (на участках равной длины) будет несколько меньшей, чем в тонкой. Вследствие этого точка немного сместится в сторону тонкой струи и по теореме Жуковского о подъемной силе (см. гл. V 18) возникнет сила, действующая на круг в сторону от набегающей струи (рис. 83). [c.245] Мы получаем, таким образом, объяснение устойчивости шарика в струе — если ось струи проходит через центр шарика, то реализуется симметричное течение, если же под влиянием каких-либо причин шарик несколько сместится, то сейчас же возникнет сила, перемещающая его центр к оси струи. [c.245] Эти же причины объясняют и вращение цилиндра в нормальном случае, при обтекании его тонкой струей — если ось струи проходит ниже оси цилиндра, та толстая часть струи будет занимать больше половины обтекаемой окружности и цилиндр будет вращаться в сторону, куда его увлекает толстая струя (на рис. 83 против часовой стрелки). Нам остается объяснить аномальный случай вращения цилиндра. [c.245] Пусть ширина струи 2/1 велика по сравнению с радиусом цилиндра, который мы по-прежнему принимаем равным 1. Сначала рассмотрим случай симметричного обтекания, когда ось струи проходит через ось цилиндра (рис. 84), т. е. точка раздвоения струи 2] = —1. Если принять схему идеальной жидкости, то в соответствии с тем, о чем говорилось в начале этого параграфа, за цилиндром возникнут зоны и с постоянной завихренностью 05. Каждая из этих зон ограничена дугой обтекаемой окружности, отрезком [1, Ь] оси л и кривой, соединяющей конец дуги с точкой Ь, 0) в остальной части струи Оо 1) движение потенциально. [c.246] Если ширина струи 2/г достаточно велика, то размер завихренной зоны может быть произвольным — от нуля до некоторой предельной величины. С уменьшением /г предельный размер убывает и при небольших /г его можно считать величиной порядка /г. Наличие вязкости меняет картину — описанного сейчас установившегося движения существовать не будет. Зародившаяся за цилиндром малая вихревая зона будет расти и с достижением некоторого предельного размера она отделится от цилиндра. Учитывая рассмотрения, проведенные выше в связи с образованием вихревых зон в струях, естественно считать, что меньшим значениям /г соответствуют и меньшие размеры вихревых зон в момент отрыва ). [c.246] Экспериментально установлено, что парадоксальное направление вращения цилиндра исчезает, если жидкость практически невязкая (ее число Рейнольдса очень велико) или, наоборот, слишком вязкая (с очень малыми числами Рейнольдса). Этот эксперимент подтверждает естественность приведенного объяснения. [c.247] Вернуться к основной статье