ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обтекание пластинки. Задача о склейке. Обтекание выпуклых Обтекание траншеи. Заключительное замечание Пространственные задачи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " Подсчитаем число параметров, определяющих это решение задачи обтекания. Функция g и радиус R полностью определяются видом обтекаемого контура у и принятыми условиями нормировки. Вектор скорости в бесконечности V o остается свободным параметром — мы можем задавать его произвольно. Остается выяснить ситуацию с величиной циркуляции Г. Как видно из (9), эта величина полностью определится, если известен аргумент образа точки разветвления или схода потока при отображении g. В принципе эти точки можно задавать произвольно, так,что Г также является свободным параметром. [c.165] Однако в приложениях к авиации дело обстоит не так. Обтекаемый контур — профиль крыла самолета — здесь обычно имеет острую кромку, скажем, точку го, с углом между касательными ал (О а 1), как на рис. 49. Как мы видели в гл. П1, из этого вытекает, что производная g отображающей функции обращается в этой точке в бесконечность. Отсюда, вообще говоря, следует физически невозможный вывод о том, что скорость течения в точке Zq бесконечно велика. [c.165] Описанные здесь результаты можно распространить и на задачу обтекания контуров потоками идеального газа при дозвуковых режимах. [c.167] Заметим, однако, что проблема устранения парадоксов нулевой подъемной силы (лобового сопротивления) и бесконечности скорости решается значительно труднее в задачах обтекания контуров, которые имеют острые углы, обращенные острием внутрь контура. Здесь схема идеальной жидкости часто дает большое отклонение от действительности. Некоторые из таких задач мы рассмотрим в дальнейшем изложении. [c.167] Этот парадокс указывает на недостаточность схемы идеальной жидкости. В действительности при обтекании шара с его поверхности срываются вихри, существенно меняющие распределение давлений. [c.167] Если близкое к любому из этих движений принять за начальное и ввести в рассмотрение сколь угодно малую вязкость, то под ее влиянием движение быстро перестроится — в силу большой концентрации энергии в окрестности особенностей начнется интенсивная диссипация энергии. В частности, например, движение в круге, когда вихрь помещен в его центре (рис. 50, в) и на границе нет трения, под влиянием вязкости будет стремиться к вращению жидкости как твердого тела. [c.168] Траекториями этого движения (векторными линиями роля V) будут кривые, на которых т. е. [c.169] Это —одна из так называемых линейных граничных задач теории аналитических функций. В классе ограниченных функций она имеет единственное решение для любого гладкого контура Г (см. Л. и Ш., гл. III). [c.170] Потенциала скоростей в этой схеме не существует просто потому, что движение не потенциально. [c.170] Пусть область В содержится в О, а ее граница Г имеет общую дугу у с границей Г области В. В О п 5 рассматриваются течения с постоянными завихренностями и и й и с одинаковым угловым расходом О. При этих условиях на у скорость второго течения меньше скорости первого, т. е. Р К во всех точках у. Если дополнительно предположить, что /) и 5 — выпуклые области, то в точках наибольшей деформации 9 V. [c.172] Представляет интерес изучение течений с постоянной завихренностью в областях типа полосы. Пусть дана такая область О = уо(х) у у (х) , ограниченная двумя непересекающимися кривыми Го у = Уо х) и Т у у х), в ней требуется построить движение с заданной завихренностью со и с заданным расходом Н. [c.172] Если ввести комплексный потенциал течения f = = -f- iv, то эта задача сводится к геометрической задаче построения конформного отображения на полосу О и /г области D типа полосы, у которой нижняя граница Го задана, а верхняя Г неизвестна — известно только, что на ней постоянно растяжение / (2) =С отображение нормируется условиями f( oo)== oo. [c.174] Если выбрать кривую Г у х)= уо х)- - к, то при малых k растяжение i z) на Г будет большим, а при больших k — малым, поэтому при заданном значении скорости С можно выбрать постоянные К я К так, чтобы на кривой у = уо х)- -К растяжение было всюду больше С, а на кривой у = уо х) + — всюду меньше С. В остальных неравенствах мы считаем М п N достаточно большими. [c.175] Ограниченное этими условиями множество кривых Г компактно, а как доказывается в анализе, на таком множестве непрерывный функционал /(Г) достигает своего наименьшего значения. Пользуясь вариационным принципом для конформных отображений полос, можно доказать, что если бы полученное наименьшее значение было отличным от нуля, то оставаясь в классе допустимых кривых, можно было бы проварьировать Г так, чтобы величина / (Г) уменьшилась. Отсюда следует, что /(Г)=0, т. е. что построенная кривая — искомая. Из того же вариационного принципа можно заключить, что кривая Г, которая дает решение задачи, определяется единственным образом. Подробнее об этом методе см. М. А. Л а в р е н т ь е в [2]. [c.175] Это уравнение, очевидно, разрешимо при Уо 1 при цУо 1 оно не имеет решений. Легко видеть, что последнее неравенство совпадает с (6), так что условия разрешимости общей и линеаризованной задачи о волнах оказываются одинаковыми. [c.178] Учет нелинейности. В рамках только что описанной линейной теории нельзя объяснить многие важные экспериментальные факты. Например, линейная теория при любой высоте дает волны в форме синусоид, хотя каждый, кто хоть раз видел море, знает, что у волн значительной высоты гребень более крут, чем впадина. Эта теория не позволяет описать также важное и интересное явление уединенной волны, когда волновой профиль имеет единственный максимум. [c.178] Для определенности будем считать, что г/ (0) О, т. е. ограничимся рассмотрением тех волн, которые в точке (О, Уо) имеют гребень, а не впадину для этого нужно предположить, что Уо r)i. [c.179] Меняя Уо, мы получим однопараметрическое семейство волн различной длины. При Уо = t]i это прямая, при Уо т] и мало отличающихся от r]i — периодическая кривая с крутыми горбами и пологими впадинами. При возрастании Уо период кривой возрастает, и при Уо, стремящемся к некоторому значению Уь которое, можно выразить через параметры аир, период возрастает неограниченно — мы получаем кривую с единственным максимумом в точке х = О, т. е. уединенную волну (рис. 53). [c.179] Вернуться к основной статье