ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задача о сопле. Сверхзвуковые включения. Задача о склейке Плоские задачи из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " Области типа полуплоскости. Тем не менее, области, которые одинаково расположены относительно характеристик, оказываете возможным /г-конформно отображать друг на друга. Рассмотрим, например, задачу об отображении на полуплоскость области О типа полуплоскости, ограниченной гладкой кривой Г = [у = у х) , для которой всюду у (х) 1, причем равенство может достигаться лишь в изолированных точках (условие одинаковости расположения относительно характеристик) и, кроме того, Г при оо ни с одной стороны не приближается асимптотически к характеристикам. [c.129] Мы докажем сейчас, что такую область можно /г-конформно отобразить на верхнюю полуплоскость, и притом бесчисленным множеством способов именно можно еще задать возрастающее и гладкое соответствие точек Г и действительной оси. [c.129] Мы видим, что /t-конформные отображения (если они существуют) обладают гораздо большей неопределенностью, чем конформные — вместо соответствия трех граничных точек можно задавать соответствие всей границы. Однако можно указать естественные дополнительные условия, при которых число параметров, определяющих й-конформное отображение, будет такое же, как для конформных отображений. [c.130] Тогда функция, отображающая D па [v 0 , определяется с точностью до двух действительных параметров ) условием, что существует предел гиперболической производной / (2) = X + Шх (см. гл. II) при х- —оо, независимый от пути, по которому точка z = x- -iy удаляется в —оо. [c.130] Наше утверждение доказано. [c.131] Прообразы линий тока V = при произвольном /г-конформном отображении О на о 0 , вообще говоря, сильно пульсируют на бесконечности, так что касательная к ним не имеет предела при х- —оо. [c.131] Однако в случае, если касательная к Г имеет предел при х- —оо, Рис. 37. [c.131] Любую такую область D, границы которой не приближаются асимптотически к характеристикам, можно /г-конформно отобразить на полосу О о 1 , причем можно задать соответствие границ на некотором участке Го, зависящем от вида области D. [c.132] меняющемся от Хо до Х, значения ХЦ) меняются от до Яг, поэтому тождество (8) позволяет продолжить ф на отрезок [А,ь Л2] условия (9) обеспечивают непрерывность и гладкость такого продолжения. Теперь, меняя I на [Ль Яг], мы таким же способом продолжаем ф на отрезок [Яг, Яз] и т. д. Если менять X(t) на отрезке [Яо, Я1], то I будет меняться на [Я-1, Яо] и тождество (8) позволит продолжить ф на этот последний отрезок. Меняя в нем Я(/), мы таким способом продолжим ф на [Л 2, Я-1] и т. д. [c.133] Эта задача, как и предыдущая, оказалась существенно более неопределенной, чем аналогичная задача для конформных отображений вместо одной действительной постоянной (у нас принята нормировка /( оо)= + оо) она содержит произвол в задании отображения на целом отрезке. Но по-прежнему этот произвол можно снять, если наложить ограничения на асимптотическое поведение отображающей функции, которые сводятся к устранению излишних пульсаций в бесконечности. [c.133] Продолжая это рассуждение, мы строим последовательность точек Хп. [c.134] Влияние вариации границы. В предыдущей главе мы говорили о том, что влияние вариации границы отображаемой области на конформное отображение быстро (по экспоненте) убывает по мере удаления от места вариации. Этот эффект лежит в основе вариационных методов и вывода приближенных формул теории конформных отображений. Он присущ решениям не только системы Коши — Римана, но и других систем эллиптического типа. [c.135] Эффект распространения влияния границы внутрь области по характеристикам присущ системам гиперболического типа. [c.136] Величина Ут —максимально возможная для данного газа скорость. [c.137] Это — уравнение минимальных поверхностей, т. е. поверхностей, которые имеют наименьшую площадь среди всех поверхностей с данной границей (например, мыльных пленок, натянутых на данный контур). Ему посвя-Щена обширная литература и оно поддается исследованию несколько легче, чем уравнение (3). Однако, во-первых, достигнутое упрощение формализма недостаточно и, во-вторых, модель Чаплыгина отражает лишь дозвуковые течения, перемена типа в ней невозможна. Построены и другие модели, о которых можно прочитать в книге Л. И. С е д о в а [2]. [c.138] Сравнивая его с рис. 40, мы видим, что в окрестности звуковой скорости качественная картина зависимости сохранена. Правда, для очень больших скоростей характер модели иной—для нее максимальная скорость = схз, а расход всегда остается большим 1. [c.139] при дозвуковых скоростях будут совпадать с простейшей эллиптической, а при сверхзвуковых — с простейшей гиперболической системой (точнее, отличаться от нее несущественным постоянным множителем Ь). [c.142] ЯВЛЯЮТСЯ эпициклоиды, причем на линии перехода характеристики различных систем касаются друг друга (рис. 43, б). [c.143] Если функция ф ф onst, то в силу ее периодичности ф непременно обращается в нуль, меняя знак из формулы (16) предыдущего параграфа видно, что тем же свойством обладает и якобиан j отображения iw- - o. В этом случае величина скорости V не может иметь предела в бесконечности (течение пульсирует). Поэтому единственным решением, для которого существует предел скорости в бесконечности (пульсация отсутствует), будет решение с ф = = onst, т. е. поступательное движение газа. [c.146] В этой же модели задача о сверхзвуковом течении в криволинейном канале 0 .у .у(х) была решена М. М. Лаврентьевым [7]. Эта задача приводится к нелинейному функциональному уравнению, содержащему еще интегралы от неизвестной функции, которое решается методом последовательных приближений. Существование решения доказано в предположении, что у х) достаточно быстро убывает при х— —оо. Как и в простейшем случае прямолинейного канала, единственность доказывается в классе течений, для которых существует предел скорости при оо. [c.147] Вернуться к основной статье