ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Обобщение понятия квазиконформности. Производные системы Вариационные принципы из "Проблемы гидродинамики и их математические модели " Об этой основной граничной задаче теории конформных отображений уже говорилось в предыдущей главе. Она заключается в построении конформного отображения одной области на другую. [c.88] Существование и единственность. Начнем с замечания, что достаточно научиться конформно отображать произвольную односвязную область на круг, и тогда мы сможем отображать конформно друг на друга любые две такие области. [c.88] Это замечание основано на двух простых свойствах конформных отображений 1) отображение обратное и конформному отображению /, и 2) сложное отображение составленное из двух конформных отображений f и g (т. е. отображение гг = / [ ( г)]), снова являются конформными отображениями. Свойства ясны из определения конформного отображения как взаимно однозначного аналитического преобразования и из правил дифференцирования обратных и сложных функций. [c.88] Задача Римана решена до конца в начале этого столетия. Оказалось, что любую односвязную область, граница которой состоит более, чем из одной точки, можно конформно отобразить на единичный круг. В этом состоит знаменитая теорема Римана, которую он сформулировал еще в 1851 г., подкрепил физическими соображениями, но не доказал (точнее, его доказательство имело существенный пробел). [c.89] Займемся вопросом о том, насколько определена Рис. 21. [c.89] Примеры. Укажем несколько простейших примеров конформных отображений. [c.90] Вертикальные прямые и горизонтальные отрезки при этом переходят в меридианы и параллели (рис. 24). [c.91] Течение в канале. Уменье решать задачу Римана определяет успех решения некоторых задач гидродинамики. Мы проиллюстрируем это на классических примерах задач обтекания тел установившимися потоками идеальной несжимаемой жидкости. Придется, конечно, предполагать, что тела имеют форму бесконечных цилиндров (с произвольными направляющим 11 линиями), чтобы можно было воспользоваться схемой плоского двил ения. [c.93] Как мы видели в предыдущей главе, предположение об отсутствии в потоке источников и вихрей приводит к выводу о существовании комплексного потенциала — аналитической в D функции / = и-f ги. Найти течение— значит найти эту функцию. [c.93] И одна из г р лежит внутри круга г1 другая вне его. [c.96] Второе из них показывает, что любое квазиконформное отображение, соответствующее системе (3), сохраняет площади областей (якобиан отображения равен 1). Поэтому области с различной площадью оказываются заведомо неотобразимыми друг на друга. [c.97] Системы (2), удовлетворяющие этим двум требованиям, называются сильно эллиптическими. [c.98] Доказано (см. М. А. Лаврентьев [4]), что на квазиконформные отображения, осуществляемые решениями сильно эллиптических систем, распространяются многие основные факты теории конформных отображений. В том числе для них справедлива обобщенная теорема Римана, по которой любую односвязную область можно квазиконформно отобразить на каноническую область (круг, полосу и т. п.). Отсюда, в частности, вытекает, что теоремы существования рещений задач обтекания тел потоками идеальной несжимаемой жидкости распространяются на случай газовых потоков, в которых ни внутри области, ни на границе не достигается скорость звука. [c.99] Теория линейных систем развита существенно лучше, чем теория систем нелинейных. Поэтому описанный способ перехода к производным системам оказывается решающим, особенно для граничных задач, которые формулируются в терминах потенциала (и, v) и скорости (т, а). Примеры таких задач будут встречаться в дальнейших главах. [c.101] Если теперь подставить р = е , то получится первое уравнение (14). [c.102] Для случая классических уравнений газовой динамики уравнения (14) были другим способом получены С. А. Ч а п л ы г и НЫ м и носят его имя. Метод перехода от зависимости [x,y) u,v) к зависимости (и, V) (т, а) называется методом годографа, он получил в гидродинамике и газовой динамике немаловажные применения. [c.103] Заметим, что в частном случае несжимаемой жидкости, когда q(p) =/з и q [p) = 1, система Чаплыгина, как и исходная система (1), совпадает с системой Коши — Римана. Это и понятно, ибо в этом случае т — ta = log I f (z) I + i arg f (z), где f — комплексный потенциал, является аналитической функцией как от z, так и от w = f(z). Таким образом, переменные (т, а) и для систем уравнений газовой динамики и в общем случае нелинейных систем вида (2) в известном смысле заменяют производную аналитических функций. Это замечание еще раз подчеркивает важность роли производных систем в общей теории нелинейных квазиконформных отображений. [c.103] ДОВОЛЬНО затруднительной. Математическое изучение всех особенностей, которые встречаются на пути применения метода производных систем, еще далеко не завершено. [c.104] Эти богатые как математическими, так и механическими приложениями принципы показывают, как меняются конформные (или квазиконформные) отображения при малом изменении отображаемых областей. [c.104] Вернуться к основной статье