ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вероятность из "Теория и приложения уравнения Больцмана " Как отмечалось выше, вероятностные представления играют фундаментальную роль в кинетической теории газов и вообш,е в статистической механике. Общеизвестно, что при вероятностном подходе основная трудность состоит в приписывании вероятностей элементарным событиям. В некоторых случаях это тривиально, как, например, в известных опытах по бросанию правильных игральных костей или монеты, когда решается вопрос о вероятности выпадения чисел от одного до шести или герба и решетки. [c.12] Вероятность реализации определенного события равна числу между нулем и единицей, которое на опыте, грубо говоря, можно интерпретировать как относительную частоту появления этого события в большой серии испытаний (в случае бросания монеты Р г) = Р р) = 1/2, где Р г) и Р р) — вероятности выпадения герба и решетки соответственно). В случае взаимоисключающих событий сумма вероятностей всех возможных событий должна равняться единице, поскольку хотя бы одно из них заведомо произойдет (в предыдущем примере выпадет либо герб, либо решетка). [c.12] ДЛЯ любой основной функции ф(г), для которой суш,ествует указанный предел. [c.14] Для обобщенных функций легко вводится операция сложения если g z) и h z) являются обобщенными функциями, определяемыми последовательностями gш(z) и hrn z) , то их сумма g z) + h z) определяется последовательностью gm z) -hrn z) . Однако в общем случае нельзя определить произведение двух обобщенных функций (2) и /I (г), удается определить лишь произведение обобщенной функции g z) и обычной гладкой функции ф(2) их произведение представляет собой обобщенную функцию, определяемую последовательностью (2) г (г) , причем основная функция ф(г) для г15(г) (2) такова, что ф г)ф(2) представляет собой основную функцию для ёГ(2). [c.14] Следовательно, интеграл от произведения g(z) p(z) по области 2 равен скалярному произведению , ср), определенному равенством (2.3). [c.15] Простейшим примером обобщенной функции является так называемая дельта-функция Дирака, которая иллюстрируется плотностью вероятности для упомянутого выше случая, когда .мерный вектор z имеет достоверное значение zo. [c.15] Эта последовательность для случая — О иллюстрируется рис. 1. Функция om( 2 ) равна нулю для z вне интервала (—1/т, 1/т) и равна т/2 внутри этого интервала интеграл от om(2 ), взятый от — оо до + оо, равен площади соответствующего прямоугольника, т. е. (2/т) (т/2) = 1 для любого т. Ясно, что предел последовательности om( ) не может быть обычной функцией действительно, поскольку этот предел равен нулю при Zq и оо при г — Zq, вряд ли его можно принять за определение функции. [c.15] Единственное различие между этими последовательностями и рассмотренной выше связано с основными функциями, которые помимо того, что они непрерывны в точке z = zq, должны удовлетворять дополнительным условиям. [c.17] В настоящее время по обобщенным функциям существует обширная литература (см., например, [1—3]), хотя часто в ней используются различные подходы к этому понятию приведенные выше отрывочные сведения, надо полагать, будут достаточными для понимания обобщенных функций в той ограниченной мере, в какой они используются в этой книге. [c.17] Таким образом, в том случае, когда плотность вероятности равна дельта-функции, среднее отклонение, независимо от того, как оно определено, оказывается равным нулю, что естественно для плотности вероятности, которая должна представлять достоверность. [c.18] Вернуться к основной статье