ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегральная форма уравнения Больцмана и ее свойства из "Математические методы в кинетической теории газов " Теорему 1 можно взять в качестве отправной точки при построении строгой теории граничных задач, поскольку она позволяет говорить о решении, которое, как было показано, существует и единственно. Отметим, однако, что показано было лишь существование функции к, интегрируемой с квадратом по обеим переменным X и I, а о гладкости решения ничего не известно. В частности, не известно, дифференцируема ли к по пространственным переменным почти всюду так, чтобы удовлетворялась не только интегральная форма (3.2), но и первоначальная интегро-диффе-ренциальная форма (1.21) линеаризованного уравнения Больцмана. Оказывается, что существует производная по направлению 1-дк1дх, а отсюда следует, что первоначальное интегро-диффе-ренциальное уравнение удовлетворяется по крайней мере в обобщенном смысле. [c.156] Последняя теорема оправдывает применение линеаризованного уравнения Больцмана. [c.157] Теория, развитая в предыдуш их параграфах, относится к случаю, когда область В ограничена. Однако ее можно обобщить и на неограниченные области с некоторой симметрией, как, например, на область между параллельными пластинами или на внутренность цилиндра с конечным поперечным сечением. Для этих случаев внутри областей существуют хорды произвольной длины,, но решение зависит только от одной или двух пространственных переменных, а длины хорд, параллельных соответствующей оси или соответствующей плоскости, ограничены. [c.159] Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159] Функция h в виде (6.12) может удовлетворить и уравнению Больцмана, и граничным условиям, только если В = О и С = 0. В самом деле, из (6.9) следует равенство в (6.7), а в силу свойств оператора А, заданного формулой (1.14), отсюда в свою очередь вытекает, что на границе В = С = 0. При подстановке (6.12) в линеаризованное уравнение Больцмана имеем А = onst, С = = onst и В = а + ЬХх, где а и Ь — постоянные векторы. Общий вид В и С и их обращение в нуль на границе позволяют заключить, что они равны нулю всюду (отметим, что а + Ь X х может обращаться в нуль на всей поверхности, только если а = = Ь = 0). А это означает, что h — постоянная, умноженная на /J/2 что и требовалось доказать. [c.161] 3 И 2 гл. 2). Очевидно, что лемма 3 справедлива, даже если допустить суш ествование источника энтропии на бесконечности. Если однако, допустить сток энтропии, то лемма 3 не выполняется. Смягчение предположения, описываемого условием (6.2), вызывает некоторое беспокойство, поскольку можно ожидать, что область на бесконечности не связана с необратимыми процессами, возникаюш ими при обтекании газом твердого тела. Однако если линеаризация справедлива неравномерно, то область на бесконечности при линеаризованном описании не совпадает с физической областью на бесконечности . [c.162] Для двумерных течений положение более сложно. Действительно, если рассмотреть, например, течение около осесимметричного тела, то можно доказать, что выводы леммы 3 справедливы, даже если отбросить условие (6.2) и требовать просто однозначности и ограниченности массовой скорости при г оо. Это следует из асимптотического анализа (Черчиньяни [5]) решения линеаризованного уравнения Больцмана для двумерных течений, когда доказывается, что условие (6.2) выполняется, если при г оо массовая скорость однозначна и ограничена. Чтобы получить нетривиальное решение для двумерных течений, приходится допустить логарифмическое поведение массовой скорости при г оо. Таким образом, при помощи линеаризованного уравнения Больцмана нельзя получить равномерную аппроксимацию распределения скорости и приходится прибегать к методу сращивания внутреннего решения (определяемого линеаризованным уравнением Больцмана) и внешнего решения, справедливого при г ИМ. Последнее можно найти разложением по числу Маха, предварительно растягивая пространственные переменные. При формальном разложении по степеням М видно, что решение во внешней области подобно разложению Гильберта, если газодинамические переменные в приближении низшего порядка определяются несжимаемым течением Озеена (Черчиньяни [5]). [c.163] Хотя внешние течения при малых числах Маха требуют дальнейшего исследования, из анализа, набросок которого только что был дан, следует, что необходимо по крайней мере для двумерных течений рассматривать подходы более сложные, нежели простое применение линеаризованного уравнения Больцмана иначе можно разыскивать несуществующие решения. [c.163] Значительное преимущество линеаризованного уравнения Больцмана перед нелинейным состоит в том, что можно применить суперпозиции и выписать общее решение как линейную комбинацию полного набора элементарных решений с разделенными переменными. Этот метод будет подробно исследован и использован для решения конкретных задач в следующей главе здесь мы сделаем только некоторые общие замечания. При разделении переменных обнаруживается, что, вообще говоря, за вй- симость от пространственных и временных переменных экспоненциальная, скажем ехр [ к-х + oi] (хотя для построения нолно1 о Набора иногда требуются некоторые полиномиальные решешш. [c.163] что эти две задачи (особенно вторая) вовсе не тривиальны однако, как будет видно в следующей главе, их можно решить в частных случаях. Во многих случаях даже просто знание множества Z) (со, к) дает возможность качественно понять природу решений и оценок асимптотического поведения. В частности, хотя различие между непрерывным и дискретным спектрами в основном математическое, но в нем могут заключаться очень важные физические следствия. [c.164] Для упругих сферических молекул можно также показать, что начало координат /с = О является изолированной точкой спектра этот результат кажется разумным и для потенциалов со строго конечным радиусом взаимодействия. Но для степенных потенциалов с угловым обрезанием и для кинетических моделей с постоянной частотой столкновений точка к О уже не изолирована (можно показать, что непрерывный спектр состоит по крайней мере из значений —v (1)/( -е)). Спектр допустимых значений был подробно исследован для модельных уравнений, а в некоторых случаях были решены упомянутые выше задачи 1 и 2 (Черчиньяни [7, 10—12]) соответствуюш ая теория будет изложена в следую-пцей главе. [c.167] Тот факт, что и для стационарных, и для нестационарных задач начало координат к = О принадлежит спектру для одних моделей столкновений и не принадлежит для других, вносит, по-видимому, основное качественное различие. В принципе это различие должно было бы быть заметно при измерении фазовой скорости и затухания звуковых волн, но существующая экспериментальная аппаратура, по-видимому, не позволяет провести решающих измерений. [c.167] Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168] что из доказанной сходимости разложения со в степенной ряд по к для достаточно малых значений к следует сходимость разложения Чепмена — Энскога для очень ограниченного класса зависимостей от пространственных переменных все производные газодинамических переменных должны быть равномерно ограничены по порядку производных, а это означает, что они не только аналитические, но также и целые функции. [c.170] Задачу с начальными данными в бесконечных областях или в конечных областях с зеркально отражающими границами см. в работе [2] гл. 3. [c.170] Теоретический анализ, проведенный в предыдущих главах, показывает, что имеет смысл исследовать линеаризованное уравнение Больцмана и что многие свойства его решений могут быть сохранены при использовании модельных уравнений. Мы можем сказать даже больше правильно выбранное модельное уравнение практически сохраняет все свойства. Преимуш ество этих уравнений по суш еству заключается в упрош ении как аналитического исследования, так и численного решения конкретных граничных задач. В частности, польза модельных уравнений неоценима в тех случаях, когда решение доводится до конца (выражена в квадратурах или через функции, поведение которых можно изучить аналитическими методами). Поэтому мы посвятим эту главу аналитическим методам исследования, с помош ью которых можно извлечь интересную информацию из модельных уравнений. [c.172] Следует заметить, что метод разделения переменных не является единственно возможным методом для решения этих задач метод Винера — Хопфа полностью эквивалентен методу элементарных решений. Однако, по мнению автора, метод, который будет описан в нескольких следующих параграфах, более эффективен и проще в обращении, особенно в случае, когда другими методами нельзя найти аналитическое решение и необходимо прибегнуть к приближенному или качественному описанию. [c.172] Вернуться к основной статье