ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Преимущества и недостатки разложений Гильберта и Чепмена — Энскога из "Математические методы в кинетической теории газов " Мы уже указывали, что при помош и разложения Гильберта нельзя получить равномерно пригодные решения. Это следует нз того, что решения уравнений невязкого газа невозможно уточнить так, чтобы они описывали вязкие пограничные слои, даже путем учета поправок высших порядков, а также из того, что параметр г входит в уравнение Больцмана сингулярным образом, нз результатов исследования нестационарных проблем (где сингулярные члены вводятся высшими приближениями) и т. д. Все это, однако, не препятствует тому, чтобы оборванное разложение Гильберта с любой заданной точностью удовлетворяло уравнению Больцмана в подходяш им образом выбранных пространственно-временных областях (которые мы будем называть нормальными областями) при условии, что расстояния от известных сингулярных поверхностей конечны, а е достаточно мало. Рассмотрим кратко этот вопрос. [c.128] Очевидно, ЧТО если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, последнее будет выполняться с ошибкой порядка 8 . Поэтому можно использовать разложение Гильберта для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана со сколь угодно малой ошибкой при достаточно малом 8 (строгие оценки в случае линеаризованного уравнения Больцмана приведены в работе Грэда [6]). [c.129] Чтобы понять, что представляют собой эти нормальные решения, заметим, что упомянутый выше остаток порядка 8 содержит пространственные производные порядка п следовательно, для существования нормальных решений требуется высокая степень их гладкости. Это наводит на мысль, что нормальные решения неприменимы в пространственно-временных областях, где профили плотности, скорости и температуры становятся очень крутыми. Ясно, что к таким областям относятся окрестности границ (пограничные слои), начальная стадия (начальный слой) и ударные волны (ударные слои). [c.129] К тому же выводу мояшо прийти, если заметить, что в разложении Гильберта предполагается, что дf дt и дf дli имеют одинаковый порядок с /, в то время как они порядка flг всякий раз, когда изменения / на масштабе среднего свободного пробега существенны. Еще одной недопустимой областью для разложения Гильберта является финальный слой , т. е. эволюция на временах порядка 1/8 иа таком масштабе величина дf дt гf пре-небреяшмо мала по сравнению с /, а разложегше становится неравномерным, ибо дf дlL f стремится стать того же порядка величины, что и дf дt. [c.129] Обзор нынешнего состояния этих трех проблем связи будет дан в 5 коротко говоря, для начального слоя имеется довольна полная теория, для пограничного слоя — качественная теория, а сраш ивание через ударные слои было проведено только с феноменологической точки зрения. [c.130] В методе Чепмена — Энскога делается попытка преодолеть одну из многочисленных неоднородностей разложения Гильберта. В качестве исходной здесь используется макроскопическая информация о том, что, кроме кинетических слоев (порядка е), в окрестности границ суш ествуют и вязкие слои (порядка 8 /2), и дается единое описание как вязких слоев, так и нормальных областей. В то же время этот метод ликвидирует неоднородность финального слоя , так как в нем учитываются вклады различных порядков по 8 в производные по времени от пространственных производных. На самом деле факты существования вязких слоев и финального слоя взаимосвязаны, и в теории Чепмена — Энскога проста принимается во внимание существование и практическая важность режимов с, (еЛ 1 (где Т ж д. — характерные время и длина Т можно заменить другой характерной длиной, отличной от д). [c.130] Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130] Эти и другие факты наводят на мысль, что теория Чепмена — Энскога идет слишком далеко в направлении учета вкладов различных порядков по 8 в производную по времени допустимы режимы не только с Р ( Т) 1, но и с I (п 0). [c.130] Это означает, что финальный слой описывается слишком подробно (физически неуместно) и к тому же учитываются граничные слои (возможно, несуществующие) порядка 8 / (п 2). Практически мы усложняем уравнения либо ненужными, либо несуществующими подробностями. [c.130] Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132] Вернуться к основной статье