ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Граничные условия из "Математические методы в кинетической теории газов " До сих пор мы пе пытались исследовать условия, которым должна удовлетворять функция распределения для газа, находящегося в соприкосновении с твердым телом. Однако ясно, что такие условия необходимы, так как в уравнение Больцмана входят пространственные производные от /. Эти условия очень важны, поскольку они описывают взаимодействие молекул газа с молекулами твердого тела, т. е. взаимодействие между телом и газом, следствием которого являются сила, действующая на тело со стороны газа, и теплопередача между газом и границей твердого тела. [c.64] ИЛИ несколькими шарами. Каждая молекула, которая прилетает от газа к такой стенке, должна удариться об один или более шаров когда, наконец, она покинет слой шаров и вернется в газ, ее скорость, конечно, должна быть направлена от поверхности к газу, а вероятность того, что скорость имеет данные величину и направление, такая же, как у газа, который находится в тепловом и механическом равновесии с твердым телом. [c.66] Затем Максвелл рассматривает более сложные модели материальных стенок и заканчивает статью замечанием, что лучше рассматривать поверхность как нечто промежуточное между зеркально отражающей и абсолютно поглощающей поверхностями и, в частности, считать, что часть каждого элемента поверхности поглощает все прилетающие молекулы, исггаряющиеся затем со скоростями, которые соответствуют скоростям покоящегося газа при температуре стенки тела, и что другая часть элемента поверхности зеркально отражает все прилетающие к нему молекулы. [c.66] если вновь рассмотреть состояние равновесия, то соответствующее максвелловское распределение должно удовлетворять граничному условию (4.1), т. е. [c.67] Легко проверить, что максвелловские граничные условия удовлетворяют и условию (4.11). [c.67] Если в граничные условия не входит температура стенки ( как, например, в (4.8) при а = О — случай зеркально отрая енного газа), то максвелловская функция при любой температуре удовлетворяет и принципу детального равновесия, и условию (4.5). Если это справедливо в каждой точке границы (включая возможную границу на бесконечности), то ясно, что такие граничные условия в общем случае совершенно нереальны, поскольку они позволяют газу оставаться в тепловом равновесии при любой заданной температуре независимо от окружающих тел. Этот факт, как правило, исключает возможность использования таких граничных условий (адиабатических стенок), однако в частных случаях они могут применяться. [c.67] Что моя но сказать в настоящее время о максвелловских граничных условиях Имеющаяся информация невелика, но можно сказать, что они дают удовлетворительные результаты при значениях а, близких к 1 кроме того, в задачах, где динамика интереснее термодинамики (большая передача импульса и малый перенос энергии), а = — довольно точное предполоя ение. [c.67] Однако максвелловские граничные условия часто используют из-за их простоты и приемлемой точности к этому вопросу мы вернемся позже и покажем, что условие (4.8) при а = дает разумное приближение к различным более сложным граничным условиям. [c.68] Уравнение (5.3), очевидно, следует из неравенства (2.3) и того факта, что / удовлетворяет уравнению Больцмана достаточно умножить обе части уравнения Больцмана на (1 + log /) и проинтегрировать по всем возможным скоростям, приняв во внимание, что d (/ log /) = (1 + log /) df и что 1 есть инвариант столкновений. [c.68] Из уравнения (5.3) можно вывести знаменитую Я-теорему Больцмана если через границу нет микроскопического потока величины Н или если граница действует как отрицательный источник величины Я, то Н со временем никогда не растет и остается постоянной, только когда функция распределения — максвелловская. [c.69] ЧТО и требовалось доказать. Ясно, что равенство достигается только тогда, когда оно достигается в уравнениях (5.7) и (5.6), а в (5.6) оно достигается только тогда, когда достигается в (2.3), т. е. когда / — максвелловская функция. [c.69] В связи с этим результатом сделаем несколько замечаний. Прежде всего выясним, какие граничные условия допускают условие (5.7). [c.69] Здесь использованы соотношения (3.16) и (3.8), определяющие тепловой поток и тензор напряжений — вектор с составляющими Pij7гj. Отметим, что в это выражение входят только касательные напряжения, поскольку, согласно (4.5), вектор V — ио ортогонален п. Если газ не скользит на границе (у щ) или касательные напряжения равны нулю (р у = О, у п), то в (5.17) последний член исчезает. Первый интеграл положителен или равен нулю, если газ не отдает тепла окружающим телам. Эти замечания определяют условия, достаточные для выполнения условия (5.7). Напомним, что условие (5.7) выполняется и в случае зеркального отражения (д = О, = О, г Ф п) оно доляшо выполняться для любого реального граничного условия, но, насколько мне известно, никаких исследований по этому вопросу до сих пор не проводилось. [c.71] Я-теорема Больцмана очень важна, поскольку она показывает, что уравнению Больцмана присуще фундаментальное свойство необратимости величина Я всегда уменьшается, даже если она не отводится к внешним телам (знак равенства в (5.7)). Казалось бы, это противоречит тому, что молекулы, из которых состоит газ, подчиняются законам классической механики. Действительно, наряду с движением, заданным при t = и скоростями VI. всегда можно рассматривать движение со скоростями —Уь. . . . . ., —при = 0 (и тех же положениях молекул при 1 о) эволюция газа назад 1 и) из последнего состояния будет совпадать с эволюцией газа вперед 1 о) из исходного состояния. Поэтому если йЯ/й О в первом случае, то йЯ/й (— ) О во втором т. е. йЯ/й О, что противоречит Я-теореме Больцмана. [c.71] ЭТО не так в других разделах физики (например, в термодинамике) и в нашей повседневной жизни, поскольку мы непрерывно ош,у-щаем присутствие стрелы времени , которая вводит суш ественное различие между прошлым и будуш им. В частности, на макроскопическом уровне никто не может предсказать прошлое даже в вероятностном смысле нельзя спрашивать о вероятности прошедшего события, поскольку событие либо безусловно произошло, либо нет, а при подсчете вероятности нужно использовать всю информацию, имеюш уюся на макроскопическом уровне (в рассматриваемом случае — также и знание того, произошло ли событие на самом деле). [c.72] Тот факт, что система в действительности всегда не изолирована, надо помнить также в связи с другим парадоксальным возражением против любой механической интерпретации второго закона термодинамики это возражение тоньше довода, основанного на обращении скоростей молекул. Возражение основано на теореме Пуанкаре, в которой утверждается, что любая конечная механическая система, подчиняющаяся законам классической механики, за достаточно большой промежуток времени возвратится как угодно близко к начальному сострянию при почти всех начальных условиях. Из этой теоремы следует, что спустя время возвращения положения и скорости молекул могут стать столь близки к начальным, что макроскопические величины (плотность, температура и т. д.), подсчитанные по ним, должны быть практически теми же, что и в начальном состоянии. Следовательно, энтропия, которую можно подсчитать по макроскопическим величинам, также должна быть практически той же, и если она вначале возрастает, то должна уменьшаться в какой-то более поздний момент. На это возражение обычно отвечают, что время возвращения столь велико, что в сущности никогда не наблюдались значительные части цикла возвращения действительно, время возвращения для обычного количества газа будет огромным, даже если за единицу измерения времени принять примерный возрасг Вселенной. Не говоря уже о применимости принятой модели классических точечных молекул, ясно, что при таком огромном. [c.73] С другой стороны, из предположений о стационарности (или их обобщений) следует, что в (6.2) достигается равенство, а это может произойти, в соответствии с результатами 5, только если / — максвелловская функция. [c.74] В частности, если границы зеркально отражающие, то условие (5.7) выполнено и, следовательно, функция распределения должна быть максвелловской для любого стационарного состояния (это неверно при более реальных граничных условиях ). [c.74] Вернуться к основной статье