ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Указания из "Математические методы в кинетической теории газов " Отметим еще, что не составляет труда распространить проведенные рассуждения на случай, когда имеется несколько газов, т. е. молекулы обладают разными массами и разными законами взаимодействия. В таком случае получается система уравнений Больцмана, где функции распределения fl отдельных компонент смеси связаны через операторы столкновений, описывающие взаимодействие молекул разных сортов. [c.43] Наконец, отметим, что данный выше вывод уравнени я Больцмана не является общепринятым (см. литературу в конце этой главы) схема его заимствована из статьи Грэда [9]. [c.43] Уравнения (7.3) и (7.6) связывают и с и Однако этих уравнений недостаточно для полного определения искомых величин I и I. В самом деле, у нас 4 скалярных уравнения для 6 скалярных величин. [c.44] искомые выражения для и через а получены. [c.44] Здесь аргументы функций f и / выражены через i, 8 и 0 при помощи уравнений (7.12) и (7.17) интегрирование по проводится по всему трехмерному пространству скоростей S, интегрирование по 8 проводится, очеврщно, от 0 до 2я, а угол 0 меняется от О (лобовые столкновения, г = 0) до п/2 (скользящие столкновения, г = ). [c.47] Легко видеть, что все сложные детали взаимодействий двух тел суммированы величиной В (0, V), которая дает по существу ненормированную плотность вероятности отклонения на угол г = я — 20 для пары молекул, имеющих относительную скорость V. Функцию в (0, V) нельзя выразить через элементарные функции даже для таких простых потенциалов, как степенные потенциалы (U =п Ф 2, 3). Однако мы увидим, что это не мешает использовать уравнение (7.22) и получать интересные результаты. [c.47] Несмотря на то что оба интеграла расходятся, окончательный результат будет конечным, если эти интегралы не разделять, а оператор столкновений записывать, как в уравнении (7.22). Однако это не оправдывает предположение о = оо это скорее реабилитация главного преступления — введения несобственных интегралов Полное оправдание должно базироваться на доказательстве того, что скользящие столкновения, соответствующие очень большим значениям прицельного параметра, дают пренебрежимо малый вклад в интеграл столкновений. Но это неверно, ибо можно указать такие функции /, для которых вклад больших расстояний преобладает. Более того, выбор о = оо налагает ограничение, согласно которому нельзя проводить указанное в (7.25) разбиение, а это неудобно как при обсуждении свойств общего характера, так и при решении конкретных задач. [c.49] Следовательно, полезное упрощение для степенных законов состоит в том, что В (0, V) оказывается произведением функции только от 0 и дробной степени У. [c.50] Особенна значительное упрощение достигается нри тг = 5, потому что тогда исчезает У. Это упрощение, обнаруженное Максвеллом, настолько заинтересовало его, что он пытался на основе имевшихся тогда скудных экспериментальных и теоретических данных показать, что реальные молекулы взаимодействуют с силой, меняющейся как обратная пятая степень расстояния. В связи с этим взаимодействующие таким путем фиктивные молекулы обычно называют максвелловскими молекулами. Хотя в настоящее время известно, что реальные молекулы не являются максвелловскими, все же это понятие чрезвычайно полезно, ибо его применение обычно значительно упрощает выкладки и дает хорошие результаты по меньшей мере в первом приближении. [c.50] В книге [10] излагается также вывод уравнений Больцмана, описывающих газовые смеси и многоатомные газы. [c.51] Вернуться к основной статье