ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Проблема неравновесных состояний. Уравнение Больцмана из "Математические методы в кинетической теории газов " И ее континуальным поведением на макроскопическом уровне. После основополагающих исследований Максвелла и Больцмана в прошлом столетии эта часть теории получила большое развитие в период между двумя мировыми войнами. Основные результаты этих исследований — объяснение макроскопического поведения газов и вычисление коэффициентов вязкости и теплопроводности, исходя из постулируемых законов взаимодействия между парой молекул газа. Помимо самостоятельного значения, эти исследования дают образец того, что надо было бы сделать для других агрегатных состояний материи (жидкостей, твердых тел, многофазных систем). [c.35] В последние 15 лет, однако, возникло новое направление, стимулируемое полетами в верхних слоях атмосферы и аналогичными, но более сложными, проблемами, с которыми столкнулись физики в процессе освоения контролируемых термоядерных реакций. [c.35] Можно ожидать, что в этой новой ситуации теория газа опять будет играть двойную роль, давая имеюш ие самостоятельное значение полезные результаты (для аэродинамических приложений) и показывая путь другим отраслям исследований но мы должны отметить, что еш е далеко от конечной цели, и теория в целом является предметом дальнейших исследований. [c.35] Цель этого — современного — аспекта кинетической теории, который будет представлять для нас основной интерес, состоит вовсе не в выводе макроскопической (в обычном смысле) теории, хотя конечные результаты и будут выражены через измеряемые. и практически нужные величины, такие, например, как сопротивление объекта, движуш егося в разреженной атмосфере. Действительно, современная кинетическая теория рассматривает ситуации, где газ настолько разрежен, что средняя частота столкновений молекул оказывается равной (или меньше) по порядку величины частоте столкновений молекул со стенками, ограничи-ваюш ими исследуемую область, или частоте звукоподобных возмуш ений, распространяюш ихся через газ. Ясно, что в таких условиях нельзя ожидать макроскопического поведения , описываемого просто в терминах таких величин, как плотность, давление, температура, массовая скорость и т. п., хотя все эти понятия сохраняют свое значение (в статистическом смысле). При этом оправдано использование одночастичной функции распределения, а уравнение Больцмана становится очень важным как уравнение, пригодное для описания всего спектра разрежений и, следовательно, поведения газа на режимах от континуального (для умеренно плотного газа) до свободномолекулярного (когда межмолекулярные столкновения практически несуш ественны). [c.35] Как и в случае теплового равновесия, предположим, что действующая на молекулу сила равна О, если эта молекула не находится внутри сферы действия другой молекулы, т. е. [c.36] Здесь Хз и Хз означают точки сферы, проектирующиеся в точку с полярными координатами г и 8 и расположенные на плюс-полусфере и минус-полусфере соответственно. [c.38] Этот результат предостерегает нас от прямого применения (6.6) в уравнении (6.4) легко выявить и соответствуюш ую физическую причину. [c.39] Поверхностные интегралы не появляются, ибо мы регаили пренебрегать тем, что уравнение (6.7) несправедливо в малом подпространстве, а это дает возможность проинтегрировать его для 7 3 по всему фазовому пространству N — 2 молекул. [c.40] Здесь индекс 1 опущен, индекс 2 заменен на 1, написано Р вместо У вместо I — 1 I (относительная скорость) и указана зависимость Р только от скоростных переменных, поскольку другими аргументами всюду будут х, 1. Наконец, интегральный член перенесен в правую часть уравнения, чтобы получить обычна используемую форму записи уравнения Больцмана этот член называется интегралом столкновений, так как в нем учитываются взаимодействия между молекулами. [c.41] Как отмечалось выше, проведенное доказательство содержит логическую брешь . Действительно, мы не доказали, что выражение (5.14) применимо для молекул, начинающих взаимодействовать. Было сказано лишь, что оно имеет смысл , ибо две сталкивающиеся молекулы являются как раз двумя случайно-выбранными молекулами из бесконечного (при N- 00) множества. Как это ни странно, упЪмянутая брешь не следует иа неполноты наших представлений, а обусловлена скорее сущностью-явления. В самом деле, насколько нам известно, никто не-предложил удовлетворительного доказательства гипотезы хаоса (было разработано много формальных доказательств, базирующихся на разложении 7 -частжчной функции распределения в степенной ряд по времени столкновения, однако они едва ли могут рассматриваться как удовлетворительные). И все же мы верим, что удовлетворительное доказательство можно построить на основе двух предположений — об очень большом числе молекул (М - оо) и о пренебрежимо малом радиусе взаимодействия (а - -0),— если их последовательно применять с самого начала, как было сделано в случае теплового равновесия. Заметим, что стремления к пределам N- 00 и а 0) не независимы, так как N0 должно оставаться конечным (ТУ а — порядок величины правой части уравнения (6.11)). Чтобы дать представление об осуществимости этого положения, отметим, что при N 10 и (Г - 10 см будет N(У 10 10 см = 1 м , Т. е. величина порядка площади макроскопической поверхности, в то время как, например, N0 порядка 10 10 см = 10 см = 10 м , т, е. пренебрежимо мало по сравнению с обычными макроскопическими объемами N0 — параметр, который служит мерой порядка величины отброшенных членов они становятся все более и более важными по мере увеличения плотности газа). [c.41] Вернуться к основной статье