ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые свойства обобщенных функций и дальнейшие примеры из "Математические методы в кинетической теории газов " квадрат среднего не больше среднего значения квадрата. Однако знак равенства имеет место для Р (г) = б (г — го), ибо в э1юм случае обе части (2.14) равны 0. [c.17] Частными случаями обобщенных функций являются обыкновенные функции (это оправдывает название первых ). В самом деле, если последовательность сходится (почти всюду) в обычном смысле к обыкновенной функции, то эту сходимость можно использовать в качестве определения обыкновенной функции. В частности, можно ввести нулевую обобщенную функцию, рассматривая последовательности, сходящиеся почти всюду к нулю. [c.18] Это обстоятельство можно применить для точного определения понятия равенства двух обобщенных функций. Две обобщенные функции будут считаться равными, если разность между любой последовательностью, определяющей первую из них, и любой последовательностью, определяющей вторую, дает нулевую (обобщенную) функцию. [c.18] Другое интересное свойство обобщенных функций — их диф-ференцируемость сколь угодно много раз в результате каждого дифференцирования получается обобщенная функция, для которой справедлива формула (2.4), если, конечно, рассматриваемые основные функции достаточно гладкие. Цроизводная Т обобщенной функции Т определяется последовательностью обыкновенных функций, состоящей из производных функций, образующих последовательность, определяющую Т (конечно, необходимо набирать ее из непрерывно дифференцируемых функций). [c.18] В случае более чем одной независимой переменной вводятся частные производные по любой из этих переменных и, в частности градиент дельта-функции, т. е. векторная обобш енная функция. [c.19] В то же время суш ествует произведение обобш енной функции Т (г) и обыкновенной гладкой функции / (г). Оно связано с последовательностью / (г) Тт, (г), а основные функции ф (г) таковы, что / (г) ф (г) — основная функция для Т (г). [c.19] Вернуться к основной статье