ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вероятность и достоверность. Обыкновенные и обобщенные функции из "Математические методы в кинетической теории газов " Статистическая механика тел в тепловом и механическом равновесии развита достаточно хорошо (по крайней мере для случая одной фазы), в то время как статистическая механика неравновесных процессов надежно обоснована лишь для не слишком плотных газов. [c.13] Для газов имеется уравнение, так называемое уравнение Больцмана, даюш ее в принципе полное описание поведения не слишком плотного газа. Математическое исследование этого уравнения, особенно в случае малых отклонений от равновесия, является основным содержанием настояш ей книги. В гл. 1 кратко объясняется смысл уравнения Больцмана и его место в обш ей теории статистической механики. [c.13] Как отмечалось выше, вероятностные понятия играют фундаментальную роль в кинетической теории газов и вообш е в статистической механике. Мы будем говорить о вероятности в несколько интуитивном смысле, иллюстрируя ее, известными опытами по бросанию игральной кости или монеты, когда ставится вопрос о вероятности выпадения одного из чисел от 1 до 6 в первом случае и вероятности выпадения герба или решетки во втором. [c.13] Вероятность реализации определенного события равна числу между О и 1, которое, грубо говоря, на опыте может быть интерпретировано как частота появления этого события в большом количестве испытаний (в случае бросания монеты Р Щ) = Р Т) = = 1/2, где Р (Н) ж Р Т) — вероятности выпадения герба и решетки соответственно). Если события взаимно исключаюш ие, то сумма вероятностей всех возможных событий должна равняться 1. Это означает, что хотя бы одно из событий заведомо произойдет (например, выпадет или герб, или решетка). [c.13] Однако необходимо подчеркнуть, что появляюш иеся в статистической механике переменные обычно пробегают непрерывное множество значений, а не дискретное (как множество из двух элементов, герба и решетки, возникаюш ее в результате бросания монеты). Поэтому, строго говоря, вероятность получения любой заданной величины из континуума возможных равна 0. В то же время сумма вероятностей должна равняться 1. [c.13] НО малом интервале (или, более общо, множестве). Эта вероятность будет, вообще говоря, бесконечно малой величиной того же порядка, что и длина интервала (или мера множества). Иными словами, необходимо ввести в рассмотрение плотность вероятности Р (г), т. е. такую величину, что Р г) вГ ъ — вероятность того, что 2 заключено между г ж г + (1ъ. Здесь г = 2,. . ., z ) есть вектор, содержащий все непрерывные переменные, необходимые для описания множества, а (Г ъ — объем бесконечно малой ячейки, (Г х = dz . . . dzJ . [c.14] Требуемое обобщение достигается при помощи так называемых обобщенных функций , или распределений . Ввиду важности этого понятия для дальнейшего мы дадим краткий обзор соответствующей теории более подробную информацию можно найти в литературе. [c.15] ДЛЯ любой основной функции ф (г), для которой указанный предел существует. Обычно предполагается, что множество основных функций плотно в множестве непрерывных функций. [c.15] Следовательно, среднее значение х — хо не дает никакой информации об отклонении х от хо. Причина этого заключается в том, что нри данном определении среднего отклонения от хо слева компенсируются отклонениями справа . [c.16] Вернуться к основной статье