ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Ангармонические колебания из "Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости " Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144] Наиболее характерной особенностью упругих волн в этом приближении является то, что всякую волну можно представить в виде простого наложения, т. е. в виде линейной комбинации отдельных монохроматических волн. Каждая из этих монохрома-[Тических волн распространяется независимо от остальных и может существовать также и сама по себе, не сопровождаясь какими-либо посторонними движениями. Можно сказать, что различные монохроматические волны, одновременно распространяющиеся в одной и той же среде, не взаимодействуют друг о другом. [c.144] Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. [c.145] Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145] Как известно, частный интеграл линейных уравнений такого вида представляет собой сумму членов с такими же экспоненциальными множителями, какие стоят в свободных членах (правых сторонах) уравнений, и с надлежащим образом подобранными коэффициентами. Каждый из этих членов соответствует бегущей волне с частотой (Oj 0)2 и волновым вектором к kj (частоты, равные сумме или разности частот исходных волн, называют комбинационными). [c.145] Хаким образом, наложение двух монохроматических волн oj, bj и oj, kj, для которых суммы соз, кз удовлетворяют указанному условию, приводит в результате эффекта ангармоничности к явлению резонанса — возникает новая настоящая монохроматическая волна о з, кз, амплитуда которой возрастает со временем и в конце концов перестает быть малой. Очевидно, что если при наложении волн 0)1, ki и oj, к.2 возникает волна (Оз, кз, то при наложении волн (Oi, kj и (Оз, кз тоже будет иметь место резонанс и возникает волна 0)1, = Мз — 1, kj = кз — к , а при наложении волн Шо, k.j и (Оз, кз возникает волна oj, kj. [c.146] В частности, в изотропном теле со связано с к посредством ш == ik или со = ik, причем i Е t. Легко нзидеть, в каких слу- аях возможно выполнение какого-либо из этих соотношений для каждой из трех волн сО], kj со.,, kj и Юз = oj соо, кз = = kj 4- kj. Если ki и kj не совпадают по направлению, то + 2 ясно поэтому, что при таких kj, kj резонанс возможен лишь в следующих двух случаях 1) волны oj, kj и (Oj, к поперечны, а волна 053, kg продольна 2) одна из волн i, kj или (Oj, kj продольна, другая поперечна, а волна (О3, kg продольна. Если же векторы к] и к. имеют одинаковое направление, то резонанс возможен в случаях, когда все три волны продольны или все три поперечны. [c.146] Мы говорим здесь о внутренней энергии й , а не о свободной энергии F, поскольку речь идет об адиабатических колебаниях. [c.147] Подчеркнем, что не имеет теперь смысла плотности потока импульса (тензора напряжений). В обычной теории такое истолкование получалось в результате интегрирования плотности объемной силы doi /dx по объему тела. При этом существенно, что при интегрировании мы не делали различия между координатами точек тела до и после деформирования, пренебрегая разницей между ними. Однако при переходе к следующим приближениям такое пренебрежение становится невозможным, и поверхность, ограничивающая область интегрирования, не совпадает с реальной поверхностью рассматриваемого участка тела после его деформирования. [c.148] Написать общее выражение для упругой энергии изотропного тела в третьем приближении. [c.148] Вернуться к основной статье