ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кручение стержней из "Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости " Перейдем теперь к изучению деформаций тонких стержней. Этот случай отличается от всех ранее рассматривавшихся тем, что вектор смещения и может быть большим даже при слабой деформации, т. е. при малом тензоре Uik ). Так, при слабом сгибании тонкого длинного стержня его концы могут значительно переместиться в пространстве, даже если относительные смещения соседних точек в стержне малы. [c.86] Существует два типа деформаций стержней, могущих сопровождаться большим смещением отдельных частей стержня. Одним из них является изгиб стержня, а вторым — его кручение. С рассмотрения этого второго случая мы и начнем. [c.86] Деформация кручения -заключается в том, что в стержне, остающемся при этом прямым, каждое поперечное сечение поворачивается относительно ниже лежащих на некоторый угол. [c.86] Исключением является только простое растяжение стержня без изменения его формы, — при слабом растяжении наряду с тензором Uih всегда мал также и вектор U. [c.86] Если стержень длинный, то при слабом кручении достаточно удаленные друг от друга сечения могут повернуться на большой угол. Образующие боковой поверхности стержня, параллельные его оси, приобретают при кручении винтовую форму. [c.87] Рассмотрим тонкий прямой стержень произвольного сечения. Выберем систему координат с осью z вдоль оси стержня и началом координат где-нибудь внутри него. Введем угол кручения т как угол поворота, отнесенный к единице длины стержня. Это значит, что два бесконечно близких поперечных сечения, находящихся на расстоянии dz, поворачиваются друг относительно друга на угол d p = -Z dz (так что т = d(p/dz). Сама деформация кручения, т. е. относительные смещения соседних частей стержня, предполагаются малыми. Услов ием этого является малость относительного поворота сечений, удаленных вдоль длины стержня на расстояния порядка его поперечных размеров R, т. е. [c.87] Обращаем внимание на то, что иц = 0 другими словами, кручение не сопровождается изменением объема, т. е. представляет собой деформацию чистого сдвига. [c.88] Задача об определении деформации кручения по уравнению (16,11) с граничным условием (16,12) формально совпадает с задачей об определении формы прогиба равномерно нагруженной плоской мембраны по уравнению (14,9). [c.89] Полезно заметить также гидродинамическую аналогию уравнением вида (16,11) определяется распределение скоростей и (л, у) вязкой жидкости по сече-1ИЮ трубы граничному условию (16,12) соответствует условие у = О на непо- вижных стенках трубы (см. VI, 17). [c.89] Рассмотрим наиболее обычный случай кручения, когда один из концов стержня закреплен неподвижно, а внешние силы приложены только к поверхности другого его конца. Эти силы таковы, что производят только кручение стержня без какой бы то ни было другой его деформации, например изгиба. Другими словами, они составляют некоторую пару сил, закручивающую стержень вокруг его оси. Момент этой пары обозначим посредством М. [c.91] Во втором члене берется его значение на верхнем пределе. В интеграле по dz вариация бф произвольна, а потому должно быть С dxldz = О, т. е. [c.91] Таким образом, угол кручения постоянен вдоль всей длины стержня. Полный угол поворота верхнего основания относительно нижнего равен поэтог гу просто произведению т/ угла т на длину I стержня. [c.92] Решение. Решеиня задач 1—4 формально совпадают с решениями задач о движении вязкой жидкости в трубе соответствующего сечения (см. нри-мечанпе на с. 89) количеству Q протекающей через сечение трубы жидкости соответствует здесь величина С. [c.92] Для функции tj получаем из (16,10) i i= onst. Но постоянная tJj соответствует, согласно (16,4), простому смещению стержня как целого вдоль оси г поэтому можно считать, что = 0. Таким образом, поперечные сечения кругового стержня при кручении остаются плоскими. [c.92] Вернуться к основной статье