ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Свободные колебания двух связанных осцилляторов две одинаковые массы, подвешенные на двух идентичных пружинах и соединенные третьей пружиной Нормальные координаты и нормальные частоты. Биения Парциальные частоты. Связанность из "Введение в синергетику " Нормальные координаты и нормальные частоты. [c.116] Рассмотрим систему, изображенную на рис. 4,1 и состоящую из двух одинаковых масс т, подвещенных на двух идентичных пружинах с коэффициентом жесткости к( кроме того, обе массы связаны между собой третьей пружиной с коэффициентом жесткости к. [c.116] Из системы уравнений (3) видно, что в данном случае речь идет о Колебательном взаимодействии возбуждаемая система тоже воздействует на возбуждающую (см, эпиграф). [c.116] Если теперь во все моменты времени = О (i, = i j), то движение всей системы описывается уравнением (5). В этом случае связь не оказывает никакого влияния на движение, а частота колебаний такая же, как у отдельно взятой массы. В случае, когда и, = О (ж, = -i j), движение описывается уравнением (6), а связь действует наиболее эффективно, поскольку пружина все время либо растянута, либо сжата. [c.117] Координаты ii и 2 называются нормальными координатами, а частоты W = Wq и Oij — /i 4- 2к/т — нормальными частотами. [c.117] Анализируемая физическая система описывается системой двух дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и поэтому имеет две степени свободы. (В теории колебаний число степеней свободы вдвое меньше порядка соответствующих дифференци альных уравнений, описывающих систему). В нормальных координатах анализируемая система распадается на две независимых, каждая из которых имеет одну степень свободы. [c.117] Величина о = к/ 2тш ) мала, поэтому массы совершают колебания с частотой Шд, амплитуда которых медденно меняется. Как говорят, в анализируемой системе имеют место бмеяоя (рис. 4.2). [c.118] Отвлечемся на некоторое время от обсуждения картины биений, чтобы Ввести еше одно новое понятие. Обратимся вновь к Л. И. Мандельштаму, который пишет [38] Я умышленно говорил все время об одной системе с двумя степенями свободы, а не о д]вух связанных системах, из которых каждая имеет одну степень свободы. Система с двумя степенями свободы может получиться генетически из сближения двух систем, из которых каждая имела одну степень свободы. [c.118] Но может возникнуть обратный вопрос. Имеется заданная система с двумя степенями свободы. Из каких двух систем с одной степенью свободы она произошла ,.. Разделение целого на части неоднозначно. [c.118] То же самое у нас было с рядом Фурье, с помощью которого мы разлагали периодическую функцию на сумму других функций . [c.119] Качественные ответы на них очень просты. Ключ к ним — два связанных маятника. Но прелесть в том, что мы можем получить не только качественные выводы, но и количественные выражения. Ради этого и пишутся последующие формулы. И если кому-то из Читателей они поначалу покажутся сложными, то настойчиво советую ему пропустить их и пойти дальше. — Прим. ред. [c.119] Если определить парциальные частоты другим способом, то такой закономерности не будет. . [c.120] Для характеристики взаимодействия связанных парциальных систем важно соотношение слагаемых под корнем п] - та ) и 4р п п1. Причем главную роль играет разность (п - Пз) . [c.122] ИЗ которого видно, что при п. = 2 нельзя в формулах (23) и (24) Пренебрегать слагаемым, пропорциональным р, даже когда р -С 1 (если п, — П2, физически не бывает слабой связи... И в том случае, когда р очень мало, т. е. связь очень мала, связанность систем может быть велика [38]). [c.122] Следовательно, нормальные частоты совпадают с парциальными, когда мала связанность и связь слабая. [c.123] Если ТП и 7712 одного порядкэ, а велйчины ( /тп, 2)/(й Пз) малы, то А , будет очень малой величиной, а к2 — очень большой. Понятно, что в этом случае каждый маятник колеблется так, будто другого нет. [c.123] что эта формула похожа по структуре на формулу (32). Появление даже малой расстройки между частотами может сильно расстроить передачу энергии от колебания к колебанию. [c.124] Для завершения обсуждения понятия связанность - вновь обратимся к Л. И. Мандельштаму [38]. Но в случае (14) амплитуда силы постоянна, теперь же она переменна. Второй маятник не может получить больше энергии, чем имеет вначале первый. Когда один раскачивается, другой теряет энергию. Здесь не действие на маятник силы с заданной амплитудой, а взаимодействие,.. . [c.124] Картина смешений обоих маятников показана на рис. 4.2. При очень слабой связи перекачка энергии от первого маятника ко второму происходит очень медленно, но если п, = Пз, то в конце концов перекачивается вся энергия. [c.125] Вернуться к основной статье