ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Что такое динамическая система Понятие фазового , пространства. Фазовый портрет линейного осциллятора из "Введение в синергетику " Примеров более чем достаточно, чтобы попытаться сделать обобщение. Таким обобщением является понятие линейного осциллятора. [c.77] В выражении (41) д величина, характеризующая отклонение от положения равновесия д = dq/dt — скорость изменения величины д во времени а — постоянный коэффициент, который называют жесткостью осциллятора р — постоятая масса осциллятора. Тогда, очевидно, что = ад /2 — потенциальная энергий осциллятора, его кинетическая энергия. [c.77] Смысл координаты д тот же, параметр 7 характеризует потери в системе, — собственная частота колебаний при 7 — 0. Конечно, Для систем, описываемых уравнением (44), соотношение (41) несправедливо. [c.78] Если д,(4) и д2(Ь) решения любого из этих уравнений, то (( ) + 02 2(0 тякж будет их решением. С точки зрения физики принцип суперпозиции есть принцип сложения движения. Математически, как мы уже видели, это означает, что описание любого процесса, любого явления допускает приблизительную линеаризацию в малом (малые отклонения от положения равновесия). Как уже упоминалось в эпиграфе, М. А. Миллер указывает, что если бы не было принципа суперпозиции, то нельзя было бы представить себе ни арифметически, ни какие-нибудь логические операции. Более того, он считает, что явление суперпозиции явлений - необходимое условие создания Интеллекта . [c.78] Второе свойство — трансляционная инвариантность. Оно состоит в том, что любое решение д 1) можно сместить вдоль временной оси, записав его как д( + о), и последнее останется решением при любом Заметим, что это свойство справедливо для линейных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.78] И еще одно свойство — физическое. Для линейных систем без потерь справедлива формула (41), т.е. кинетическая и потенциальная энергии системы являются квадратичными функциями от двух обобщенных координат — скорости и смещения. [c.78] Как пишет А. Мигдал, ...мы подошли к важному предположению, которое широко использовалось и используется в теоретической физике XX века. Если две системы имеют энергию, одинаково зависящую от координат и скоростей, то такие системы обладают одинаковыми свойствами, несмотря на то, что координаты и скорости могут иметь совершенно разный смысл в этих системах. Не было ни одного примера, где бы это предположение противоречило опыту . [c.79] Функцию типа (41) можно написать и для линейного осциллятора, описывающего малые колебания, скажем, в биологической системе, но ей трудно придать энергетический смысл. [c.79] Формула для длины волны А получается из определений импульса частицы р = ту — Ьк и волнового числа к = 2тг/А. Напомним, что с точки зрения квантовой механики энергия в атоме может принимать только дискретные значения. Зти значения энергии могут быть получены из условия, что на длине орбиты электрона должно уложиться целое число длин волн. Тогда п-му состоянию электрона, движущегося по орбите радиуса В, соответствует условие 2тгК — Хп п— 1,2.), ту = hn.f R. [c.79] Любопытно, что это значение получается, если просто приравнять слагаемые, входящие в W q . Подумайте, почему. [c.80] У нас шибка в числовом множителе (тг/2 вместо 1) и в численном значении энергии при п = О — в наинизшем состоянии (7г/2Йа вместо 1/21ко). Но для оценки результат совсем неплохой. [c.80] Мы не интересовались устройством нашего осциллятора, поэтому решили задачу о применении кванторой механики сразу ко всем возможным осцилляторам. Виновато в этом предположение, изложенное в формулировке Мигдала [45, с. 16].. [c.80] однако, и макроскопические системы, где эта дискретность является определяющей, например, лазеры. [c.80] Если интерпретировать звуковые колебания в твердом теле как набор квантовых осцилляторов, то получается, что при абсолютном нуле атомы твердого тела совершают нулевые колебания а не неподвижны. Это было подтверждено экспериментами по рассеянию света при низких температурах. Электромагнитную волну тоже можно рассматривать как набор осцилляторов. Следовательно, даже в вакууме — пустом пространстве, — где нет ни частиц, ни квантов, будут иметь место нулевые колебания электромагнитного поля. [c.81] Системы, поведение которых описывают уравнения (43) и (44), называются динамическими. Дадим несколько строгих математических определений, следуя лекции В. С. Афраймовича [7]. [c.81] Динамическая система — математический объект, соответствующий реальным физическим (химическим, биологическим и другим) системам, эволюция во времени которых на любом интервале времени однозначно определяется начальным состоянием. [c.81] Реальному физическому процессу (например колебаниям маятника, колебаниям в электрическом контуре или объемном резонаторе и т. п.) соответствует динамическая система, когда этот процесс можно описать уравнением или системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.п.), которые допускают существование на конечном или бесконечном интервале времени единственного решения при любых начальных условиях. Именно такими являются уравнения гармонического и линейного осцилляторов — обыкновенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения описывают детерминированные процессы, для которых весь их будущий ход и все прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время [6, с. И. [c.81] Эволюцию динамической системы можно наблюдать в пространстве состояний системы. Множество начальных условий - состояний дина мической системы, - на котором определено расстояние между каждой парой точек, образует фазовое пространство динамической системы. Это абстрактное пространство, в котором координатами служат величины, описывающие состояние системы. Фазовое пространство систем классической механики, например, характеризующее состояние процесса движения ТУ материальных точек, есть множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы. Подумайте сами, какова размерность такого фазового пространства. В случае экологической модели в качестве координат фазового пространства выбирают, например, численности популяций различных биологических видов. [c.81] Удивительно красивый пример, принадлежащий Н. Н. Константинову, в котором уже само введение фазового пространства позволяет решить трудную задачу, есть в книге В. И. Арнольда [6]. Приведем его полностью. Условие задачи таково. [c.82] Предлагается следующее решение. [c.82] Вернуться к основной статье