ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Конвективная неустойчивость неподвижной жидкости из "Теоретическая физика. Т.4. Гидродинамика " Если в заданной конфигурации жидкости и твердых стенок ностеиенно увеличивать число Рэлея, то наступит момент, когда состояние покоя жидкости становится неустойчивым по отношению к сколь угодно малым возмущениям ). В результате возникает конвекция, причем переход от режима чистой теплопроводности в неподвижной жидкости к конвективному режиму совершается непрерывным образом. Поэтому зависимость числа Нуссельта от при этом переходе не испытывает скачка, а лишь излом. [c.311] Теоретическое определение критического значения кр должно производиться по схеме, уже объясненной в 26. Повторим ее здесь применительно к данному случаю. [c.311] Из первого имеем Т = — Az, где А — постоянная в интересующем нас случае подогрева жидкости снизу эта постоянная Л 0. [c.311] Уравнения (57,2—4) с граничными условиями (57,5) определяют спектр собственных частот со. При 52 С Якр их мнимые части 7 = Im(o О и возмущения затухают. Значение йкр определяется моментом, когда (ио мере увеличения 5) впервые появляется собственное значение частоты с y 0 при 5 = й,ср значение v проходит через нуль. [c.312] Задача о конвективной неустойчивости неподвижной жидкости обладает той спецификой, что все собственные значения id) вещественны, так что возмущения затухают или усиливаются монотонно, без колебаний. Соответственно, и возникающее в результате неустойчивости неподвижной жидкости устойчивое движение стационарно. Покажем это для жидкости, заполняющей замкнутую полость, с граничными условиями (57,5) на се стенках ). [c.312] В этом выводе и дальнейшей формулировке вариационного принципа мы следуем В. С. Сорокину (1953). [c.312] В виду существенной положительности интеграла, отсюда следует искомый результат Re со = 02). Отметим, что при /1 О (жидкость подогревается сверху), чему формально отвечает О, интеграл мог бы обращаться в нуль и го) могло бы быть комплексным. [c.313] С математической точки зрен71Я, изложенный вывод сводится к доказательству самосопряженности системы уравнений (57, 2—4). С физической точки зрения, происхождение этого результата можно пояснить следующими соображенпямп. Пусть при возмущении элемент жидкости смещается, например, наверх. Попав в окружение менее нагретой жидкости, он будет охлаждаться за счет теплопроводности, оставаясь все же более нагретым, чем окружающая среда. Поэтому действующая на него сила плавучести будет направлена вверх и элемент будет продолжать движение в том же направлении — затухающее или ускоряющееся в зависимости от соотношения между градиентом температуры и диссипативными коэффициентами. В обоих случаях ввиду отсутствия возвращающей силы колебания не возникают. Отметим, что при наличии свободной поверхности возвращающая сила возникает за счет поверхностного натяжения, стремящегося сгладить деформированную поверхность при учете этой силы сделанные утверждения уже не справедливы. [c.313] По смыслу его вывода, критическое значение Мкр определяет границу устойчивости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Но для задачи о конвективной устойчивости неподвижной жидкости оказывается, что это число является в тоже время границей устойчивости но отношению к любым конечным возмущениям ). Другими словами, при М кр не существует никаких незатухающих со временем решений уравнений движения, за исключением состояния покоя. Покажем это В. С. Сорокин, 1954). [c.314] При 52 5 кр в жидкости возникает стационарное конвективное движение, периодическое в плоскосги ху. Все пространство между плоскостями разделяется на прилегающие друг к другу одинаковые ячейки, в каждой из которых жидкость движется по замкнутым траекториям, не переходя из одной ячейки в другую. Контуры этих ячеек на граничных плоскостях образуют в них некоторую решетку. Значение ккр определяет периодичность, но не симметрию этой решетки линеаризованные уравнения движения допускают в (57,14) любую функцию ф(х, г/), удовлетворяьэ-щую уравнению (Лг — )ф = 0. Устранение этой неоднозначности в рамках линейной теории невозможно. По-види.мому, должна осуществляться двухмерная структура движения, в которой на плоскости ху имеется лишь одномерная периодичность— система параллельных полос ). [c.317] Теоретические указания состоят в том, что в надкритической области вблизи нр лишь эта структура оказывается устойчивой по отноигеиию к малым возмущениям трехмерные же призматические структуры оказываются неустойчивыми. Экспериментальные результаты существенно зависят от условий опыта (в том числе от формы и размеров боковых стенок сосуда) п не однозначны. Наблюдавшаяся в ряде случаев трехмерная гексагональная структура связана, по-видимому, с влиянием поверхностного натяжения на верхней свободной поверхности, и с температурной зависимостью вязкости жидкости (в изложенной теориии вязкость v рассматривалась, конечно, как постоянная). [c.317] Наименьший корень этого уравнения дает йкр = 68. [c.318] Вернуться к основной статье