ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Перевод размерностей при разных определяющих соотношениях из "Единицы физических величин и их размерности " Наличие различных систем ставит задачу перевода одних единиц в другие. Очевидно, изменение основных единиц должно приводить и к изменению производных. Так, например, если вместо метра за единицу пути возьмем километр, то получим единицу скорости километр в секунду , в 1000 раз большую, чем метр в секунду . Взяв в качестве единицы времени час и сохранив в качестве единицы пути метр, получим единицу скорости метр в час , в 3600 раз меньшую, чем метр в секунду . Наконец, можно получить единицу скорости километр в час , равную 1000/3600 м/с л 0,278 м/с, если в качестве единицы длины взять километр, а в качестве единицы времени — час. Мы видим, что всякое изменение основных единиц изменяет соответственно производную единицу. [c.51] Очевидно, желательно найти такое соотношение, которое бы позволило определить, как с изменением каждой из основных единиц изменится производная единица интересующей нас величины. Такое соотношение носит название формулы размерности единицы данной величины. Формулой размерности называется математическое выражение, показывающее, во сколько раз изменится производная единица при определенных изменениях основных. [c.51] Из того, каким образом строится формула размерности, вытекает, что она может быть написана только для таких величин, количественная характеристика которых удовлетворяет условию абсолютного значения относительного количества. При этом оказывается, что при любом выборе основных единиц формула размерности производной единицы представляет собой одночлен, составленный из произведения символов основных единиц в некоторых степенях, причем эти степени могут быть положительными и отрицательными, целыми и дробными. [c.53] Коэффрщиент Ж представляет собой число, не зависящее от выбора единиц. [c.55] Следует ли из полученного результата, что все закономерности, связывающие между собой различные физические величины, могут иметь только степенной характер Отнюдь нет. Мы ведь знаем, что многие физические законы выражаются тригонометрическими, показательными и другими неалгебраическими функциями. Из соотношения (2.12) вытекает лишь, что изменение единиц величин, входящих в аргументы соответствующих функций, не должно изменять единиц зависимых величин. Для этого, очевидно, необходимо, чтобы единицы величин, входящих в аргументы неалгебраических функций, образовывали безразмерную комбинацию, т. е. не изменялись при любом изменении единиц, принятых за основные. [c.55] Для того чтобы равенство (2.13) сохранялось при любом выборе единиц, необходимо, чтобы показатель степени был безразмерным, а это значит, что произведение должно обладать размерностью времени. Это произведение даже и получило соответствующее название постоянная времени контура . В идеальном колебательном контуре Томсона аналогичная постоянная времени образуется комбинацией - ЬС. [c.55] Доказательства всех этих теорем очень просты, вследствие чего мы ограничимся лишь тем, что докажем первую из них. [c.57] Важно отметить следующее обстоятельство. Так как способ построения производной единицы включает в себя приравнивание единице (или иному произвольному постоянному числу, не зависящему от размера основных единиц) коэффициента пропорциональности в определяющем соотношении, то это означает, что мы условливаемся считать этот коэффициент безразмерным. [c.57] Поясним сказанное примерами. [c.58] Для наглядности воспользуемся последней формулой с тем, чтобы определить, как изменится единица ускорения, если от измерения длины в метрах и времени в секундах перейти к измерению длины в километрах и времени в минутах. При таком переходе единица длины увеличивается в 1000 раз, а единица времени — в 60 раз. Согласно формуле (2.34) единица ускорения изменится в 1000/60 = 10/36 раза, т. е. новая единица ускорения будет равна 0,278 старой. [c.58] Из последней формулы, в частности, вытекает, что если перейти при измерениях длины от сантиметров к метрам, а при измерении массы от граммов к килограммам и сохранить единицу времени секунду, то единица кинетической энергии увеличивается в (100)2-1000 = 10 раз. [c.59] В дальнейшем, исследуя единицы производных величин, мы всегда будем обращаться к формулам размерности. [c.59] Формула размерности производной единицы часто определяет и ее название, и ее символическое обозначение. Например, единица скорости метр в секунду обозначается м/с, единица площади квадратный метр — м и т. д. [c.59] не меняя определяющих соотношений, изменить подбор величин, единицы которых приняты за основные, то соответственно изменится и вид формул размерности, например при переходе от систем СИ и СГС к системе МКГСС, в которой в числе основных величин вместо массы принята сила. Переход от одной системы к другой может быть в этом случае произведен, если в формулах размерности заменить размерность соч ответствующей основной единицы ее размерностью, выраженной в другой системе. [c.59] При установлении производной единицы с помошью определяющего соотношения (т. е. математической формулировки, определения или закона), связывающего данную величину с величинами, принятыми за основные (или ранее определенными), полагают равным единице или другому постоянному числу стоящий в соотношении коэффициент пропорциональности. [c.60] Разобранный пример можно, впрочем, рассматривать даже не как переход от одного определяющего соотношения к другому, а как замену в формуле площади квадрата коэффициента пропорциональности, принятого раньше за единицу, на 4/л . [c.61] Наличие размерности у гравитационной постоянной означает, что ее числовое значение зависит от выбора основных единиц. Для определения этой зависимости следует вспомнить, что формула размерности показывает, как изменяется производная единица при изменении основных единиц. Поэтому, вводя условно единицу гравитационной постоянной , можем на основании (2.43) сказать, что эта единица изменяется пропорционально кубу единицы длины, обратно пропорционально единице массы и квадрату единицы времени. Поскольку числовое значение величины при изменении единиц, ее измеряющих, меняется в обратном отношении (см. (1.1)), то, следовательно, числовое значение гравитационной постоянной будет обратно пропорционально кубу единицы длины и прямо пропорционально единице массы и квадрату единицы времени. Так, если при основных единицах метре, килограмме и секунде гравитационная постоянная численно равна 6,67-10 , то при переходе к основным единицам сантиметру, грамму и секунде она примет значение 6,67 10 . [c.62] Таким образом, в тех случаях, когда разные системы отличаются друг от друга выбором определяющих соотношений, необходимо учитывать, что коэффициенты пропорциональности, которые в одной системе считаются безразмерными (и обычно равными единице), в другой системе приобретают размерность. При переходе от одной системы к другой следует для определения размерности заменить безразмерный коэффициент размерным или наоборот. [c.63] Вернуться к основной статье