ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Специальные изометрические преобразования цилиндрической поверхности из "Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек " В связи с применением вариационного принципа А к исследованию упругих состояний выпуклых оболочек нас будут интересовать изометрические преобразования выпуклых поверхностей с выпучиванием выпуклых областей и образованием ребер на их границе. Оказывается, такие изометрические преобразования допускают очень простое описание. Для полноты изложения напомним некоторые факты, относящиеся к изгибанию выпуклых поверхностей. [c.35] Если среди поверхностей данного класса каждая поверхность, изометричная Р, равна Р, то поверхность Р называется однозначно определенной в этом классе. Например, любая замкнутая выпуклая поверхность (даже без предположения о регулярности) является однозначно определенной в классе выпуклых поверхностей [4]. [c.36] Если Р — данная поверхность и Р — поверхность, изометричная Р, то говорят также, что Р получена геометрическим изгибанием (или просто изгибанием) ш Р. Иногда под изгибанием понимают непрерывную деформацию поверхности Р в Р с сохранением изометрии в каждый момент деформации. Мы будем употреблять слово изгибание как 1 том, так и в другом смысле, уточняя его в тех случаях, когда это может привести к недоразумениям. Заметим, что в рассмотренном примере зеркального выпучивания выпуклой поверхности Р поверхность Р может быть получена непрерывным изгибанием из Р. Для этого достаточно взять плоскость а, сначала не пересекающую поверхность, и затем надвигать ее на поверхность, выполняя в каждом положении указанное построение с зеркальным отражением отсекаемой части. [c.37] В связи с предстоящими приложениями для нас особый интерес представляют изгибания строго выпуклых регулярных поверхностей с краем при условии неподвижности точек края и касательных плоскостей поверхности в этих точках. Для таких поверхностей мы прежде всего установим их однозначную определенность в классе дважды дифференцируемых поверхностей. [c.37] Пусть Р — дважды дифференцируемая строго выпуклая поверхность с краем у. Нетрудно дополнить ее до некоторой замкнутой выпуклой поверхности Ф, например, взяв выпуклую оболочку поверхности Р. Если бы поверхность Р при указанном закреплении края -у допускала нетривиальное изометрическое преобразование в классе регулярных поверхностей, то замкнутая поверхность Ф, очевидно, допускала бы изометрическое преобразование в классе выпуклых поверхностей. Но это невозможно в силу теоремы об однозначной определенности для таких поверхностей. [c.37] Ввиду однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей построенное изометрическое отображение поверхности Ф на себя должно сводиться к движению или к движению и зеркальному отражению. Так как точки кривой 7 при изометрическом отображении остаются не- подвижными, то Дело сводится к зеркальному отражению поверхности Ф относительно некоторой плоскости. Кривая у, будучи неподвижной, должна лежать в этой плоскости. Таким образом, мы приходим к следующему выводу. [c.39] Изометрическое преобразование строго выпуклой регулярной поверхности, закрепленной по краю, в классе кусочно-регулярных поверхностей с нарушением регулярности только вдоль кривой 7, ограничивающей выпуклую область О, возможно только тогда, когда кривая 7 плоская, и в этом случае оно сводится к зеркальному отражению области О в плоскости кривой 7. [c.39] Применение принципа А при изучении закритических упругих состояний оболочки предполагает определение ряда величин изометрического преобразования срединной поверхности. Имея в виду ближайшие приложения, мы определим такие величины в случае зеркального выпучивания малых областей. [c.39] Определим нормальную кривизну поверхности в направлении границы выпучивания. Ввиду того, что область выпучивания мала, можно считать, что главные кривизны на границе выпучивания близки к и — главным кривизнам в Р (центре выпучивания), а главные направления близки к главным направлениям в Р. [c.40] Здесь a—угол между плоскостью кривой у и касательными плоскостями деформированной поверхности, —нормальная кривизна исходной поверхности в направлении, перпендикулярном границе выпучивания, Лу—нормальная кривизна в направлении границы, к и к —нормальные кривизны изометрически преобразованной поверхности соответственно со стороны внутренней и внешней полуокрестности границы выпучивания. [c.42] Существенно заметить, что эти напряжения постоянны вдоль границы выпучивания. [c.43] В качестве иллюстрации йрименения вариационного Принципа А рассмотрим упругую деформацию произвольной выпуклой оболочки под действием сосредоточенной силы. [c.43] Пусть строго выпуклая оболочка, жестко закрепленная по краю, находится под действием сосредоточенной силы /, нормальной к поверхности оболочки в точке приложения. Если эта сила вызывает значительную деформацию, то определение упругого состояния оболочки сводится к задаче на экстремум функционала который определен и рассматривается на изометрических преобразовалиях исходной формы оболочки. Мы будем предполагать, что выпучивание оболочки, вызванное действием силы /, охватывает выпуклую область. В этом случае, как показано в п. 2, класс изометрических преобразований, на которых надо рассматривать нашу вариационную задачу, сужается до зеркального выпучивания. [c.43] Предполагая, что точка приложения силы является центром выпучивания, будем иметь для функционала А, представляющего собой работу, производимую силой f при деформации оболочки, формулу А=2[Н. [c.43] Из этой формулы видно, что при увеличении деформации воспринимаемая оболочкой нагрузка f растет. Это указывает на устойчивость состояний равновесия оболочки под действием сосредоточенной нагрузки. [c.44] А это значит, что состояние равновесия устойчиво. [c.44] Таким образом, зависимость радиуса круга выпучивания от действующей силы / является линейной. [c.44] Из этой формулы видно, что воспринимаемое оболочкой давление уменьшается при увеличении деформации (2Я). А это указывает на неустойчивость закритических деформаций под внешним давлением. Заключение о неустойчивости найденных упругих состояний соответствует экспериментальным данным о характере закритических деформаций под внешним давлением. Согласно этим данным, закритические деформации после потери устойчивости оболочки развиваются без увеличения нагрузки и даже при ее уменьшении. [c.46] Нижняя критическая нагрузка для пологих сферических сегментов была подвергнута экспериментальному исследованию. Соответствующий эксперимент состоял в следующем. [c.47] Вернуться к основной статье