ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Осесимметрическая деформация сферической оболочки из "Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек " Общие соображения, изложенные в п. 1, мы применим сначала для решения простой задачи об определении упругого состояния жестко закрепленной по краю оболочки в форме сферйческого сегмента под действием сосредоточенной силы /, приложенной в вершине (рис. 1). Будем предполагать деформацию сегмента при таком нагружении осесимметрической. [c.8] Переход оболочки в деформированное состояние связан со значительным изгибом в плоскости меридиана, о чем свидетельствует наличие геометрического ребра на соответствующем изометрическом преобразовании. Этот изгиб сопровождается появлением значительных напряжений растяжения-сжатия в срединной поверхности в направлении параллели. Из наглядных соображений мы заключаем, что деформация сильного изгиба на границе выпучивания и соответствующие деформации срединной поверхности для достаточно тонких оболочек должны иметь местный характер. [c.9] Принимая во внимание изложенные выше соображения, мы разобьем поверхность сегмента на три области Ощ (окрестность ребра) и оставшиеся две области и Ga, на которые эта окрестность разбивает всю поверхность. Для определенности будем считать область Ga внешней (прилегающей к краю сегмента). Вне окрестности ребра Gia, т. е. в областях Gi и G , энергию деформации оболочки можно вычислять обычным образом по изометрическому преобразованию. [c.9] Как указано выше, истинная форма деформированной оболочки хорошо приближается изометрическим преобразованием вне окрестности ребра Gi . Переход от изометрического преобразования к истинной форме варьированием в области Gi2 не влияет на производимую внешней нагрузкой / работу А. Поэтому форма деформированной оболочки в области Gia естественно должна быть определена из условия минимума энергии деформации в этой области. Рассмотрим эту задачу сначала для внешней полуокрестности. [c.13] Это условие означает, что при сглаживании ребра деформацией и, V касательные плоскости вдоль ребра переходят в горизонтальную плоскость (перпендикулярную оси оболочки). [c.13] Это значит, что вдоль ребра радиальные смещения отсутствуют. [c.13] Эти условия выражают локальный характер деформаций, спрямляющих ребро. При удалении от ребра деформации и, V быстро затухают. [c.13] Для внутренней полуокрестности ребра возникает аналогичная вариационная задача для функционала У с теми же граничными условиями и неголономной связью для варьируемых функций. Заметим, что выражения и и и отличаются только слагаемым, не зависящим от варьируемых функций (у, а). Отсюда следует, что оба функционал а О и V минимизируются одной и той же системой функций а(8), у (5). В связи с этим можно ограничиться рассмотрением задачи о минимуме только для внешней полуокрестности, т. е. для функционала (/ . [c.14] Теперь наша вариационная задача стала вполне определенной. Требуется определить функции и, v, реализующие минимум функционала J при граничных условиях м(0)=0, u(0)=—1, u(oo)=v(oo)=0 и неголономной связи ( ). [c.15] Зная величину 2к, находим зеркальное выпучивание, соответствующее упругой деформации под действием силы /. Функции и, и, реализующие минимум функционала /, восстанавливают детали формы оболочки в переходной зоне Оц. В частности, через них определяются максимальные напряжения от местного изгиба на границе выпучивания и напряжения в срединной поверхности. Определение этих величин обычцо составляет основной объем исследования упругого состояния оболочки. [c.16] Изложенное решение задачи о5 упругом состоянии сферического сегмента является, конечно, приближенным. По ходу этого решения мы сделали ряд упрощающих предположений, что и позволило нам. получить окончательный результат в замкнутом виде. Наиболее сущест- венным среди сделанных предположений является предположение о локальном характере деформации, которая спрямляет ребро при переходе от изометрического преобразования к истинной форме оболочки. Это предположение выполняется тем точнее, чем тоньше оболочка. В связи с этим можно утверждать, что полученное решение задачи будет сколь угодно близко к точному в отношении основных величин (максимальный прогиб, максимальные напряжения от изгиба и растяжения-сжатия в срединной поверхности), если оболочка достаточно тонкая, а рассматриваемые деформации значительны. [c.16] Вернуться к основной статье