ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изучение одного дифференциального уравнения с нелинейностью, удовлетворяющей обобщенному условию Гурвица из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Условие Гурвица отрицательности действительных частей корней этого уравнения записывается в виде й а. [c.311] Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что нелинейность / х) удовлетворяет обобщенному условию Гурвица ). [c.311] Плоскость д = 0 траектории системы (20.5) пересекают при у О, переходя из полупространства. V О в полупространство а О, а при у О траектории системы (20.5) пересекают плоскость д = 0, переходя при возрастании времени из полупространства д О в полупространство д 0. При у = 0 траектории системы (20.5) касаются плоскости д = 0. Пусть точка р лежит на оси Oz и пусть ее аппликата положительна, тогда траектория ср(р, t) системы (20.5) касается плоскости j = 0 при i = 0 при i О, но достаточно малых, траектория tp(p, t) лежит в полупространстве j 0. Если точка р лежит на оси аппликат, но имеет отрицательную аппликату, то траектория р(р, f) касается в точке р плоскости дг = 0 таким образом, что при t ф О, но достаточно малых, ср(р. t) лежит в полупространстве д 0. Таким образом, аппликата z на плоскости х = 0 испытывает вдоль всех движений системы (20.5) максимум при у 0 и минимум при у 0. При у = 0 аппликата z на плоскости а = О на траекториях системы экстремума не имеет. [c.312] Пусть теперь точка р лежит на цилиндрической поверхности у—/(д )=0, при этом по-прежнему предполагается, что д О в точке р. Если в точке р г х, но траектория 9(р, ) пересекает поверхность у=./ х) в точке р, переходя из области у — /(д ) 0) в область у — /(дг) 0 (здесь и в дальнейшем неравенства, заключенные в фигурные скобки, означают те области фазового пространства, где эти неравенства выполняются). При этом в точке р абсцисса траектории ср(р, /) испытывает минимум. Если в точке р г С X, то траектория ср(р, () пересекает поверхность у — /(х) = 0, переходя нз области (у—/(х) 0 в область (у — / х) 0 . При этом абсцисса траектории ср(р, /) имеет в точке р максимум. [c.313] Лемма 20.1. Пусть р х 0, 2 0), тогда траектория (р р, () при 0 пересекает плоскость д = 0. [c.313] Так как д ограничен на ср(р. t) в рассматриваемой области, а Z убывает с возрастанием времени в этой области, то правая часть равенства (20.13) ограничена. Отсюда и из ограниченности у и вытекает ограниченность z. Предположим теперь, что траектория р(р, t) остается в области х 0, у — fix), г 0 при всех t 0. Тогда f(p, t) ограничена при i - 0. Но в нашей области все координаты зависят от времени монотонно, поэтому траектория ср(р. t) стремится при i - + со к некоторой точке фазового пространства. отличной от начала координат. Хорошо известно, что такой точкой может быть лишь состояние равновесия нашей системы. Но система (20.5) имеет лишь одно состояние равновесия, находящееся в точке x — y — z = 0. Поэтому предположение о том, что траектория ср(р, t) при / 0 остается в области j 0. у — /(j ) 0, 2 0) абсурдно. Следовательно, траектория р(р, t) пересекает поверхность у — f(x)==0 и попадает в область х О. У-/( ) 0, 2 0 . [c.314] Следовательно, траектория р(/ , t) должна пересечь при t = Tp ti плоскость д = 0. А это и доказывает лемму. [c.316] Лемма 20.3. Предположим, что р [х у О, у — /(д ) 0). Тогда траектория ср(/7, t) системы (20.5) при / 0 пересекает поверхность у — /(д ) = 0 и попадает в область (д 0, у — /(д ) 0]. [c.316] Доказательство. Предположим сначала, что у — f x) 0, z x]. В этой области хну возрастают, а z убывает с возрастанием времени t. [c.316] Сделаем предположение, обратное утверждению леммы, т. е. предположим, что при всех 0 ср(р, 06 л 0, у — /(д ) 0 . Покажем, что тогда ср(р, t) при 0 пересечет плоскость Z — д = 0. [c.316] Знаменатель дроби, стоящей в правой части этого равенства, может обратиться в нуль лишь при д = 0. Так как на tp(p, t) при / 0 в области j 0, у — /(д ) 0, z — д 0 оказывается х х р) и, как отмечалось выше, х на ср(р, t) в этой области ограничен при t Q, то существует такое число I О, что ах I при i О и таких, что траектория ср(р, t) остается в области (д О, у — /(д ) О, г д . Отсюда и из ограниченности z и следует ограниченность у в этой области. Таким образом, траектория ср(р, t) ограничена при i О в области (д О, у — /(д ) О, 2— д 0 . [c.316] Замечание. Утверждение леммы, очевидно, справедливо и в том случае, когда p x Q, у — / (д ) 0, z — j 0 . [c.318] Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 20.3. [c.318] Доказательство. Так как вдоль р р, t) абсцисса и аппликата убывают с возрастанием времени, то они ограничены на этой траектории при t Q. [c.318] Последнее неравенство противоречит неравенству (20.19). Полученное противоречие и доказывает, что точка q совпадает с началом координат. Таким образом, траектория ср(р, t) имеет точку х = у = z — 0 своей единственной ш-предельной точкой. Лемма доказана. [c.319] Теорема 20.1. Любая положительная полутраектория системы (20.5), целиком лежащая в одном из полупространств х О или X 0, стремится к началу координат. [c.319] Покажем теперь, что р(р, пересекает плоскость г = 0 при 1. Действительно, допустим, напротив, что это не так, т. е. предположим, что при t О) 0. [c.323] По лемме 20.1 можно утверждать, что траектория ср(р. t) пересекает плоскость х = 0. [c.323] Из лемм 20.7 и 20.8 вытекают следующие теоремы. [c.323] Вернуться к основной статье