ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Существование периодического решения у одной автономной системы трех дифференциальных уравнений из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Исследование вопроса о существовании периодических решений системы (18.1) по сравнению с таким же вопросом, касающимся системы вынужденных колебаний (1.1), представляет некоторые дополнительные трудности. Трудности эти возникают из-за того, что в случае автономной системы нельзя, вообще говоря, заранее указать период искомого периодического решения, в то время как в случае системы вынужденных колебаний (1.1) периодическое решение обычно имеет период, равный или кратный периоду правой части. А в тех случаях, когда система (1.1) имеет решение с периодом. несоизмеримым с периодом правой части, это решение, как следует из теоремы 1.7, располагается в множестве, на котором правая часть не зависит от времени t, т. е., строго говоря, в этом случае мы как раз имеем дело с системой вида (18.1). [c.280] Для доказательства существования периодического решеиия системы (18.1) поступают обычно следующим обра-ЯОм, В фазовом пространстве выделяется гиперповерхность М (л—1)-го измерения, не имеющая контакта с полем направлений системы (18.1). На поверхности М выделяется (П— 1)-мерный симплекс 5. Предполагается, что если точка р лежит в 5, то при возрастании времени траектория Ф(р. Ь) системы (18.1), проходящая при = 0 через точку р, пересечет поверхность М в точке Ф(р, х), х 0. Таким образом, получается преобразование Т симплекса 5 в гиперповерхность М, ставящее в соответствие точке р точку Ф (р, х). Обычно без особых затруднений удается показать, что преобразование это непрерывно. Если, кроме того, преобразо-пиние Т таково, что на 5 оно имеет неподвижную точку д, то ясно, что траектория Ф д, 1 ) замкнута, т. е. решение Ф((/, ) периодическое. [c.281] В следующем параграфе при исследовании конкретной системы мы покажем приемы построения области R и сечения 5. [c.281] как и раньше, через X У обозначать скалярное произведение векторов Л и К, а через ЦА ]—евклидову норму вектора X. [c.282] Мм предполагаем ЧТО функции / (ЛГ[, Хг.лг )(А=1. [c.283] Функции j)ji(0) выражаются по обычным правилам через (р (0) и ср (0)- Поэтому функции непрерывно дифференцируемы при 6 О и ограничены при б О вместе со своими производными. [c.283] Так как вектор X — Ф(р, 6) ортогонален к Р Ф(р, 6)), т. е. [c.285] Заметим, что из теоремы 18.1 следует, что это периодическое решение устойчиво в смысле Ляпунова-и любое решение, начинающееся в достаточно малой окрестности его траектории, стремится к этой траектории при т. е. [c.292] Докажем теперь теорему о единственности периодических решений в некоторых областях. [c.292] Теорема 18.3. Пусть в области О выполняются условия теоремы 18.1. Пусть, кроме того, область О обладает тем свойством, что при всяком р О решение Ф(р, Ь) лежит в О пра / 0. Тогда в области О существует единственное периодическое решение, оно устойчиво в смысле Ляпунова, и любое решение стремится к его траектории при - - -оо. [c.292] Доказательство. Рассмотрим произвольную точку р О и решение Ф(р, ). проходящее через эту точку при ==0. Пусть 2 — предельное множество положительной полутраектории Ф(р, 1). Ясно, что 2сО покажем, что справедливо и более точное соотношение 2 0. Предположим, напротив, что существует точка 2. лежащая на границе области О. Рассмотрим точку Ф д, где 0. Множество 2 есть предельное множество для Ф(р, потому оно инвариантно, следовательно. Ф(д, 1) 2сО. По условию теоремы имеем Ф Ф д, ), — 1) = д Это противоречит предположению, сделанному о точке д. Полученное противоречие и доказывает, что 2 с О. Отсюда и из теоремы 18.2 следует, что существует точка г 2, через которую проходит периодическое решение Ф(г, () системы (.18.1). [c.292] ча эта встречается при изучении колебательных явлений в электрических цепях. [c.294] В этой системе а, Ь, с л d — положительные постоянные, а функция f x) определена, непрерывна и удовлетворяет условию единственности решетШ в окрестности каждой точки X. Мы б) дем считать еще, что /(х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х = 0. [c.294] При ЭТИХ условиях мы и докажем наличие у. системы (19.1) периодического решения. [c.294] Отсюда следует, что характеристическое уравнение имеет хоти бы один отрицательный корень. Для определенности будем считать, что Xj 0. [c.295] что при иаших условиях линеаризованная система имеет две траектории, стремящиеся к началу координат при - - -оо. [c.296] Система (19.1) также имеет ровно две траектории, стремящиеся к началу координат при Траектории эти касаются главного направления в начале координат. Все остальные траектории системы (19.1), начинающиеся в сколь угодно малой окрестности начала координат, покидают некоторую фиксированную окрестность начала при возрастании времеии t. [c.297] Так как fe О, то это неравенство равносильно следующему k —k)d e. [c.298] Ось (У, пойдет вдоль главного направления. Оси и д будут зависеть от корней Х2 и Х3. При этом если Х2 и вещественны, то у = 0 и (А1 = Х2, (1,2 = Хз, а если Хд и Х3 — комплексные сопряженные, то Л1 = Лд = 2 2- обоих случаях, как следует из (19.20), А] О, ( 2 0. [c.302] Вернуться к основной статье