ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Субгармонические колебания уравнения без диссипации из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Это и доказывает, что функция ф(0 = Р(—О представляет собой решение уравнения (17.1). Отсюда вытекает, что любое решение уравнения (17.1) с начальным условием x(0) = 0 есть четная функция. Действительно, пусть x = p(i) такое решение. Рассмотрим решение д = ф (i) = ср (—i). При i = 0 оказывается ф(0) = (р(0) иф(0) = — ср(0) = 0, т. е. решение д = (р (i) совпадает с решением л = ф( ), а это и доказывает, что p(f) = p(—i), т, е. ( (i) есть четная функция. [c.272] Это и доказывает, что решение x(t) имеет период km. Теорема доказана. [c.272] ИЛИ I силу нечетности функций g р. [c.273] Докажем следующую теорему. [c.273] Из последнего неравенства следует, чд-о выбором достаточно большого а можно добиться того, чтобы разность ср — сро по абсолютной величине была сколь угодно велика. Это и доказывает утверждение б) теоремы. [c.276] НИИ у I 2 (01 = 0. Так как по самому выбору решения у (0) = О, то по теореме 17.1 это решение имеет период кш. [c.277] Полученное противоречие и доказывает, что построенное нами решение не может иметь периода вида киз. [c.279] взяв произвольное / О, мы указали решение с начальными данными у(0) = 0, лг(0) / , обладающее тре-Лусм1.1ми свойствами. Из произвольности R следует, что таких решений существует бесконечно много. [c.279] Теорема 17.6. Предположим, что функции p(t)u g x) нечетные, т. е. р(—i) = — p(i) и g(—x)= — g(x), и выполнено условие (17.18). Тогда при любом натуральном к существует бесконечно много решений уравнения (17.1) с периодом кш, и никакое число вида кш, где к — натуральное число, меньшее к, не является периодом этих решений. [c.279] Вернуться к основной статье