ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О существовании гармонических колебаний у одной системы двух дифференциальных уравнений из "Нелокальные проблемы теории колебаний " В 12 было показано, что если все решения системы двух уравнений продолжимы па периоде, то для существования гармонического колебания достаточно существования ограниченного решения. Однако далеко не всегда все решения системы оказываются продолжимыми на периоде. Примерами систем, у которых решение может уходить в бесконечность до истечения периода, могут служить системы, у которых на бесконечности превалируют полиномиальные члены. В этом параграфе мы будем изучать именно такие системы. [c.261] Теорема 16,1, Предположим, что выполнены следующие условия . [c.264] Доказательство. Функция / (ср) представляет собой тригонометрический полином, поэтому ясно, что уравнение (16.7) либо имеет конечное число корней, либо обращается в тождество. Второй случай невозможен в силу предположения о простоте корней уравнения (16.7). [c.264] Нашей ближайшей задачей будет построение такой замкнутой кривой Г, что если точка (Ло, Уо) лежит на Г, то решение хЦ, х , Уо, о) У( 0- Уо о) системы (16.1) ни при каких 0 ч оказывается в этой точке. [c.264] Легко видеть, что этим свойством обладают точки границ областей и поэтому в состав Г могут быть включены любые отрезки этих границ. [c.264] Рассмотрим узловое исключительное направление ср = ср1. Для определенности будем считать, что это направление положительное. Пусть —соответствующая ему область.. Пусть ср = ср2—исключительное направление, соседнее с ср = ср1. Мы будем считать для определенности, что срз ср1 и при р1 Ф 2 0. Предположим, что ср = ср2—также узловое исключительное направление. Тогда оно необходимо отрицательное. Действительно, по определению положительного узлового направления имеем О (ср1) О, Р (ср1) 0. [c.264] Проведем окружность с центром в начале координат и постараемся определить поворот вектора поля при обходе 11Т( И окружности в положительном направлении. [c.269] П08Т()му условие г) теоремы может быть сформулировано следующим образом. Число узловых направлений не должно превышать число седловых направлений ровно на 2. [c.269] Выберем теперь столь большим, чтобы при всех ср на кривой (16.22) оказалось г / . Замкнутая кривая (16.22 представляет собой кривую без контакта для системы (16.2). [c.270] Вернуться к основной статье