ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Изучение одной диссипативной системы с сингулярным строением множества из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Для уравнения (15.2) при определенных условиях получены аналогичные результаты. [c.227] Доказательства этих утверждений, весьма длинные и сложные по своей структуре, по-видимому, не допускают существенного сокращения, поэтому не представляется возможным привести их в этой книге, и мы отсылаем читателя к оригинальным работам. [c.227] Будем называть четной точкой пересечения значение Ь, при котором решение д (0 семейства Р, убывающее от 1 ноего максимального значения, приблизительно равного 3, пмервые достигает значения х = 1. Назовем нечетной точкой пересечения то значение Л при котором решение x t), возрастающее от своего минимального значения, впервые достигает значения л = — 1. Для каждого решения из семейства Р четные и нечетные точки пересечения чередуются с возрастанием И четные, и нечетные точки пересечения будем называть просто точками пересечения. [c.229] Все нечетные точки пересечения лежат на коротком промежутке i = 7С+1 (mod 2тс), О t т, , который называется нечетным базисным интервалом. [c.230] Уравнению (15.3) можно поставить в соответствие большое целое число п. Расстояние между двумя соседними базисными интервалами, п которых лежат точки пересечения одного и ТОГО же решения семейства Р, близко либо к (2и—1)тс, либо к (2 -f-l)ir. Зададимся произвольной последовательностью (—оо fe - -оо), где d,, есть либо (2и—l)i , либо (2и+1)тг, тогда существует решение семейства Р, точки пересечения которого лежат в базисных интервалах с соответствующими расстояниями, равными и это решение не имеет других точек пересечения. [c.230] Так как последовательность содержит бесчисленное множество перемен 1, то множество таких последовательностей имеет мощность континуума. Большую часть решений семейства Р составляют непериодические решения, так как последовательности в большинстве своем непериодические. Среди всех последовательностей имеется счетное множество периодических. Каждой из таких периодических последовательностей отвечает по крайней мере одно периодическое решение из Р, точки пересечения которого лежат на базисных интервалах расстояния между ними определяются соответствующей последовательностью Семейство таких периодических движений будем обозначать через S. [c.230] Так как в мало, то р также мало. [c.230] Если рассмотреть четное базисное семейство, то картина получится аналогичная. [c.232] Рассмотрим последовательность базисных интервалов с соответствующими расстояниями, даваемыми произвольной последовательностью —оо й - -оо, где каждое есть или (2п—1) или (2п- - ) . Тогда, используя природу описанного преобразования, удается показать, что существует по крайней мере одно решение уравнения (15.3) с точками пересечения, лежащими на соответствующих последовательности расстояниях. [c.232] Вели мы положим здесь л = —1, а i = t - -x, то мы и получим (15.13) с весьма малым экспоненциальным членом Е ири достаточно большой разности t — tg. [c.233] с 1 общее решение уравнения (15.3) задается формулой (15.12), где постоянные и Вд имеют следующие выражения через j q. Xq, Iq. [c.233] Будем считать е и р достаточно малыми положительными постоянными Ь лежит между нулем и единицей и отделено от нуля и единицы. Для удобства будем считать 0,1 6 0,9. В дальнейшем нам понадобятся следующие леммы о поведении решений уравнения (15.3). [c.233] Из (15.37) следует, что л 3,1. Используя (15.36), получаем в силу (15.38), что ех2 2 — 2 - --ТР 0- Но это невозможно, так как при t = I2 должно быть х 0. [c.238] Условие (15.40) дает те значения Ъ, для которых образ базисного интервала включает в себя два базисных интервала, лежйщих от исходного и т расстоянии (2л— 1)я и (2п-(- 1)те. [c.239] Всюду в дальнейшем будем считать, что Ь принадлежит одному из сегментов / (р). [c.239] Выберем достаточно малое е О и целое п, удовлетворяющее неравенствам (15.41). Пусть / (р). Сформулируем теперь следующий фундаментальный результат относительно уравнения (15.6) с функцией Я (у), достаточно близкой к Ф(у) (постоянная Д достаточно мала). [c.240] Установим теперь существование семейства F. [c.243] Из предыдущих рассуждений без труда получается и боле точное включение 5j(N-j-AI) =5i(Al) (как обычно, обо значает замыкание множества Sj). Таким образом, существуе -непустое множество Si(oo), такое, что (oo) =5j (Л/) npi любом натуральном N. Ясно, что множество решений S(oo , отвечающее точечному множеству Si(oo) плоскости т, V, i есть требуемое теоремой 15.1. [c.244] В дальнейшем будем предполагать, что точно мало при д - 0,95и Ф(х) — Р х) где Д достаточно мало. [c.246] Вернуться к основной статье