ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Существование инвариантной поверхности и поведение решений на ией в одном специальном случае из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Функции X, X У, К предполагаются непрерывными по всем своим аргументам и непрерывно дифференцируемыми по X 1л у. Кроме того, как обычно, предполагается, что эти функции имеют период ш по t. [c.219] как и в предыдущем параграфе, предполагать что система (14.1) при е = 0 имеет инвариантную поверхность Иц, гомеоморфную тору. Однако в предыдущем параграфе мы предполагали, что на самой поверхности Иц интегральные кривые ведут себя как решения уравнения (13.6). [c.219] Сейчас мы будем предполагать, что на поверхности ц располагаются йш-периодические (к — целое) решения системы (14.1) с е = 0 и что оба характеристических показателя каждого из этих решений отличны от нуля. Кроме того, будем считать, что инвариантная поверхность Ед асимптотически устойчива. [c.219] предполагается, что существует замкнутая жорданова кривая Уд без самопересечений, инвариантная относительно преобразования Тд. Поверхность Ед представляет собой семейство всех решений, проходящих через ( д при = 0. [c.220] В дальнейшем систему (14.1) мы будем рассматривать в тороидальном фазовом пространстве, отождествив все точки вида (х, у, - -пш) (п — О. 1, 2,. ..). [c.220] Таким образом, все периодические решения, лежащие на Ец, имеют наименьший период А(в. [c.221] При этом если для какой-нибудь точки д, лежащей на -(о, выполняется соотношение (14.2), то и для всех точек, лежащих па 1[о между рад, выполняется то же соотношение, и обратно. [c.222] что если через точку р проходит периодическое решение с отрицательными характеристическими показателями, то для всякой точки д, лежащей в достаточной близости к р, выполняется соотношение (14.2). Такие точки р в дальнейшем будем называть устойчивыми. [c.222] В этой системе функции ,(0 ( - к—, 2), X х, у, /) и К (х, у, О имеют период ш по Л кроме того, функции X (х, у, и У (х, у, ) обращаются в нуль вместе со своими частными производными по х, у при л = у = 0. [c.222] Из устойчивости Ео следует, что Луо с Со ибо в противном случае существовали бы решения, не лежащие на Но стремящиеся к Ец при — — оо, что, очевидно, невозможно. [c.224] Таким образом, доказано, что если через точку р, неподвижную относительно преобразования То, проходит периодическое решение, имеющее положительный характеристический показатель, то для всякой точки д, лежащей на в достаточной близости от р, выполняется соотношение (14.3). Такие точки р будем называть неустойчивыми. [c.224] Из сказанного выше следует, что точки Чjl = T fl.Q (/ = 0, 1,. .., к—1) будут геометрически различными неустойчивыми неподвижными точками преобразования т1-Если рассмотреть преобразование 5Го5 то из теоремы 10.4 нетрудно вывести, что на устойчивые и неустойчивые точки чередуются. [c.224] Из теоремы 10.4 следует, что дуга Нд своими концами примыкает к некоторым устойчивым неподвижным точкам. Таким образом, кривая - д представляет собой сумму всех дуг //д с присоединением устойчивых неподвижных точек (У=1, 2.т, 1 = 0, 1.А—1). [c.224] Из сказанного вытекает следующее утверждение [69]. Теорема 14.1, При сделанных предположениях система (14.1) имеет инвариантную поверхность Е, гомеоморфную тору, если е достаточно мало. [c.226] Вернуться к основной статье