ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Относительно функции /(ср, 6) будем, как и выше, предполагать, что она 2те-периодична по обоим аргументам, непрерывна и обеспечивает единственность решений при любых ср, 9. [c.174] При ( 1 —I. 0] это уравнение допускает в качестве св их рспи ииИ некоторые постоянные, и, следовательно, его число ращений равно нулю, т. е. j,(a) = 0 при а [—1, 0]. [c.175] Таким образом, для рассматриваемого уравнения х(а) не удовлетворяет условию Липшица в окрестности точки а = 0. [c.176] Определение 11.1. Будем говорить, что уравнение (11.1) имеет у той иво зсдо вращения, если существует такое S О, что при любой функции /j ( р, 0) такой, что l/ii 0)1 уравнение (11.7) имеет такое же число вращения, как и уравнение (11.1). [c.176] В противном случае будем говорить, что уравнение (11.1) имеет неустойчивое число вращения. [c.176] Лемма II./. Если число вращения уравнения (11.1) иррационально, то оно неустойчиво. [c.176] Функцию эту мы будем называть функцией последования. Из теоремы 10.2 следует, что функция последования имеет нули при 6о [0, 2те). Нулям этой функции соответствуют периодические решения уравнения 11.1 (замкнутые циклы на торе). [c.178] Теорема 11.2. Для того чтобы уравнение (11.1) имело устойчивое число вращения, необходимо и достаточно, чтобы число (г было рациональным а функция ПО Л0дован11н меняла знак. [c.179] Доказательство. Достаточность следует из того, что и услониях теоремы число вращения рационально, а функция послсдонапия меняет знак, и из теоремы 11.2. [c.179] Лемма 11,5, Если уравнение (11.1) грубое, то оно лишь конечное число замкнутых циклов. [c.181] Сформулируем теперь еще одну лемму относительно грубости уравнения (11.1). [c.182] Лемма 11.6. Если уравнение (11.1) грубое, то любое его периодическое решение 9 = Г(ср, 01) имеет отличный от нуля характеристический показатель. [c.182] Теорема 11.4. Для того чтобы уравнение ( . ) было грубым, необходимо и достаточно, чтобы оно имело рациональное число вращения и любое его периодическое решение имело ненулевой характеристический показатель. [c.184] Доказательство. Необходимость утверждения теоремы следует из лемм 11.4 и 11.6. Докажем достаточность. Отметим сначала, что уравнение (11.1) имеет лишь конечное число периодических решений. Действительно, если бы их. было бесконечно много, то среди них имелось бы неизолированное, а его характеристический показатель был бы равен нулю. Зададимся произвольным положительным числом е. [c.184] Вернуться к основной статье