ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения первого порядка, периодичные по обоим аргументам из "Нелокальные проблемы теории колебаний " С другой стороны, каждой точке тора отвечает совокупность пар чисел вида (ср- -2Л1г, с целыми кип. [c.148] Будем рассматривать переменные ср и 6 как координаты точки тора. Ясно тогда, что через каждую точку тора проходит одна и только одна интегральная кривая. [c.148] На декартовой плоскости переменных ср и О интегральные кривые уравнения (10.3) образуют систему параллельных прямых с угловым коэффициентом а. [c.149] Рассмотрим кривую 6 = аср, т. е. интегральную кривую уравнения (10.3), проходящую через точку ср = 6 = 0. Покажем, что эта кривая всюду плотна на торе, т. е. что она проходит через любую окрестность любой точки тора. [c.149] Зто и означает, что после N оборотов по долготе интеграль-ийи крииа 0 = а р попадет в е-окрестность точки (О, Р). [c.149] Точка (О, Р) была взята на нулевом меридиане. Возьмем теперь произвольную точку (у, Р). Рассмотрим то решение нашего уравнения, которое проходит через эту точку О — = аср- -р — уа. Было доказано, что траектория 0=аср проходит через любую окрестность любой точки нулевого меридиана, в частности она проходит через е-окрестность точки (О, р — а). Но тогда ясно, что интегральная кривая 0=аср проходит через е-окрестность точки (а, Р). [c.150] Таким образом, доказано, что кривая 0 = аср всюду плотна на торе. [c.150] Неравенство (10.10) и означает, что точка Р. лежит выше к изой 0 = / (э, 0). Повторяя это рассуждеиие, докажем, что точка Р пд, пр) лежит выше кривой 0 = Р(ср, 0) при любом натуральном п. [c.151] Заменяя в только что проведенных рассуждеииях знак неравенства на обратный, а слово выше словом ниже , докажем, что если точка Рх д, р) лежит ниже кривой 0 = г= (ср, 0), то и точка Р (пд, пр) при любом натуральном лежит ниже этой кривой. [c.151] Таким образом, если Р д, р) лежит выше кривой 0 = / (9. 0), то и Р (ду р ) лежит выше этой кривой. [c.151] Аналогично докажется, что если Р д, р) лежит ниже кривой 0 = / (ср, 0) или на ней самой, то также расположена и точки / (д1, / ]). [c.151] Таким образом, мы имеем дедекиндово сечение в области рациональных чисел. Пусть оно производится числом II.. Это число называется числом вращения уравнения (10.1). [c.152] Угловая точка Р1(ЛГ, т—1) лежит по определению II. ниже кривой 0 = / (ср, 0), а от+1)—выше этой кривой. [c.152] Так как N — произвольное, достаточно большое натуральное число, то последнее перавснстио и доказывает справедливость соотношения (10.12). [c.153] Рассмотрим теперь три интегральные кривые б = /= (ср, 0), б = / (ср, бо) и б = /= (ср 2/гтс), где к — натуральное число, такое, что О бц 2 тг. [c.153] Деля эту строку па ср и устремляя ср— --f-oo, в силу соотношения (10.16) получаем (10.11). [c.154] Теорема 10.2 показывает, что если уравнение (10,1) имеет замкнутую интегральную кривую, то его число вращения рационально. Оказывается, верно и обратное. [c.154] Из определения функции v следует, что нули этой функции определяют замкнутые интегральные кривые. По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных функция v(Oq) непрерывна. Из периодичности / следует, что эта функция 2к-периодична. [c.155] Вернуться к основной статье