ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вопросы конвергенции для уравнения второго порядка из "Нелокальные проблемы теории колебаний " В заключение отметим, что результаты, близкие по своему дойному содержанию к приведенным выше, были не так давно опубликованы М. А. Красносельским [32]. [c.93] Таким образом, система с конвергенцией — это такая диссипативная система, у которой множество 7 (см. п. 3 2) ырождается в точку. Установим следующее характеристическое свойство систем с конвергенцией. [c.93] Так как для решения X (1, X, 1 ) соотношение (7.5) не иыполняется, а в любой окрестности точки X лежат точки области О, то ясно, что решение X ( , X, Г) не может быть устойчивым. Это противоречит условию теоремы. Противоречие доказывает соотношение (7.5). Из этого соотношения вытекает, что система (7.1) диссипативна следовательно, она имеет решение с периодом кш и решение с периодом (й-1-1)и), где к — достаточно большое натуральное число. В силу соотношения (7.5) разность между этими решениями должна стремиться к нулю при - -1-оо отсюда следует, что эти решения просто совпадают. Но если решение имеет периоды кю и (А + 1)(о, то оно имеет и период щ. [c.95] Таким образом, система (7.1) имеет щ-периодическое решение, к которому стремятся все остальные решения. Отсюда и вытекает достаточность условий теоремы. [c.95] Как было показано в 2, множество I замкнуто, поэтом существуют точки Х 1 и У 1 такие, что v(X, У)=с. Из равенства Т1 = 1 следует, что Т Х 1 и Т У 1. [c.96] Это противоречит определений) а. Полученное противоречие доказывает, что множество I представляет собой точку Г гиперплоскости i==0. Отсюда и из теоремы 2.3 вытекае что решение X t, Z, 0) есть устойчивое в целом ш-перио дическое решение системы (7.1). [c.96] Условия этой теоремы оказываются и необходимыми длг конвергенции. [c.96] В приложениях часто удобно пользоваться следующей теоремой, являющейся простым следствием предыдущей [38. 39]. [c.98] Используя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.6. нетрудно показать, что теорема 7.4 допускает обращение, однако мы на этом не останавливаемся. [c.98] Но форма (7.15) определенно-отрицательна. Отсюда и из неравенств (7.12) следует, что при достаточно малом % выполняется неравенство v X, K)w O и v X, К) = 0 тогда и только тогда, когда X = Y. Форма (7.14) определенно-положительна, поэтому v X, К) 0 и v X, К) = 0 тогда и только тогда, когда ЛГ = К. [c.100] Таким образом, функция v X, К) удовлетворяет условиям теоремы 7.V4. Кроме того, как было показано ранее (см. теорему 3.1), система (7.11) диссипативна. Следовательно, система (7.11) обладает свойством конвергенции. [c.100] Отметим, что, как следует из самого доказательства теоремы 7.5, константа / в неравенстве (7.12) может быть эффективно оценена через матрицу А. [c.100] Теорема 7.6. Если при всех X все характеристические числа матрицы Ий меньше некоторой отрицательной посточнной, то система (7.18) обладает свойством конвергенции. [c.100] ЧТО при всех X выполняются неравенства Х (А ) —8. Обозначим через X Y скалярное произведение векторов X к V. Покажем, что при любых X и Y имеет место нера-иеиство . [c.101] Функция о (t) непрерывна и периодична, следовательно, ограничена поэтому при достаточно больших ]АГ ] г О, Из теоремы 2.5 тогда следует, что система (7.18) диссипативна. [c.102] Из этого неравенства следует, что функция г , удовлетворяет условиям теоремы 7.4, ссылка на которую и завершает доказательство. [c.102] Предположим, что все характеристические числа матрицы, составленной из коэффициентов простые и имеют отрицательные действительные части. [c.102] Теорема 7.7. Если выполняется соотношение (7.39) и если можно указать такие постоянные Л, О,. ... [c.106] Вернуться к основной статье