ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Существование гармонических колебаний у систем высших порядков, не янляющихся D-снстемами из "Нелокальные проблемы теории колебаний " Тогда в шаре К существует хотя бы одна неподвижная точка преобразования Т. [c.85] Теорема 6.2. Пусть функция Р Х, /)=(/,(x ,. .. [c.86] Пусть Ф — вектор с компонентами 9,(х.х , 0),. .. [c.87] Из самого выбора функций ср следует, что все решения системы (6.11) продолжимы на все моменты времени t ОТ = — оо до = 4 00. [c.89] Относительно функции Р X, Ь) будем предполагать, что она непрерывна, имеет период 21с по аргументу Ь и удовлетворяет условию единственности решений при всех X, t. [c.89] Это доказывает, что индекс точки Ху = х —. .. = а = О как особой точки векторного поля W(X) равен 1. [c.90] Пусть — элементы матрицы К тогда положим lK =i y,j и max W(t, Xq, 0) . [c.91] Тйк как 1 — решение линейной системы (6.20), то существует такая положительная постоянная М, что j Ж Ц оЦ. Пусть, кроме того,, j= max K(i) . [c.91] Пусть 5 — сфера достаточно большого радиуса с центром в начале координат. Из оценок (6.22) и (6.28) вытекает, что ни в одной точке сферы 5 векторы и не оказываются противоположно направленными и ни в одной точке сферы не обращается в нуль. Отсюда следует, что вращения векторов V а W уц сфере 5 совпадают. Но было доказано, что индекс точки Л — О как особой точки поля W равен 1. Сфера 5, в силу неравенства (6.22), не охватывает особых точек поля отличных от начала координат, и потому вращение вектора на сфере 5 равно 1. Следовательно, вращение V на сфере 5 также равно 1, а это значит, что сфера 5 охватывает хотя бы одну особую точку вектора V. Эта точка является, очевидно, неподвижной точкой преобразования Т. [c.92] Эта теорема впервые была доказана, по-видимому, Бар-балатом [33]. Здесь мы привели доказательство, опубликованное в [34]. [c.92] Отметим, что, как следует из самого доказательства теоремы 6.3, константа в неравенстве (6.19) может быть эффективно оценена через матрицу А. [c.92] Вернуться к основной статье